Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{\cot (2 x)}{\csc (5 x)}$

Этап 1

Выразим $\csc (5 x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{d}{d x} [\frac{\cot (2 x)}{\frac{1}{\sin (5 x)}}]$

Этап 2

Выразим $\cot (2 x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{1}{\sin (5 x)}}]$

Этап 3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (5 x)}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (5 x)]$

Этап 4

Запишем $\sin (5 x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{1}]$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим $\sin (5 x)$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (5 x)]$

Этап 5.2

Переведем $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ в $\cot (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (2 x) \sin (5 x)]$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cot (2 x)$ и $g (x) = \sin (5 x)$ .

$\cot (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Этап 7

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $5 x$ .

$\cot (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Этап 7.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\cot (2 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Этап 7.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $5 x$ .

$\cot (2 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Этап 8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cot (2 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Этап 8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cot (2 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Этап 8.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $5$ на $1$ .

$\cot (2 x) \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Этап 8.3.2

Перенесем $5$ влево от $\cot (2 x) \cos (5 x)$ .

$5 \cdot (\cot (2 x) \cos (5 x)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Этап 9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 9.2

Производная $\cot (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 9.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 10

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \csc^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 10.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 10.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \cdot 1)$

Этап 10.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Изменим порядок членов.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

Этап 11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выразим $\cot (2 x)$ через синусы и косинусы.

$5 \cos (5 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

Этап 11.2.2

Умножим $5 \cos (5 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Объединим $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ и $5$ .

$\frac{\cos (2 x) \cdot 5}{\sin (2 x)} \cos (5 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

Этап 11.2.2.2

Объединим $\frac{\cos (2 x) \cdot 5}{\sin (2 x)}$ и $\cos (5 x)$ .

$\frac{\cos (2 x) \cdot 5 \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

Этап 11.2.3

Перенесем $5$ влево от $\cos (2 x)$ .

$\frac{5 \cdot \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

Этап 11.2.4

Выразим $\csc (2 x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 {(\frac{1}{\sin (2 x)})}^{2} \sin (5 x)$

Этап 11.2.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (2 x)}$ .

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

Этап 11.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \frac{1}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

Этап 11.2.7

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{\sin^{2} (2 x)}$ .

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} + \frac{- 2}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

Этап 11.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - \frac{2}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

Этап 11.2.9

Объединим $\sin (5 x)$ и $\frac{2}{\sin^{2} (2 x)}$ .

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - \frac{\sin (5 x) \cdot 2}{\sin^{2} (2 x)}$

Этап 11.2.10

Перенесем $2$ влево от $\sin (5 x)$ .

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

Этап 11.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Разделим дроби.

$\frac{5 \cos (5 x)}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

Этап 11.3.2

Переведем $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ в $\cot (2 x)$ .

$\frac{5 \cos (5 x)}{1} \cot (2 x) - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

Этап 11.3.3

Разделим $5 \cos (5 x)$ на $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

Этап 11.3.4

Вынесем множитель $\sin (2 x)$ из $\sin^{2} (2 x)$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin (2 x) \sin (2 x)}$

Этап 11.3.5

Разделим дроби.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\sin (2 x)})$

Этап 11.3.6

Перепишем $\frac{\sin (5 x)}{\sin (2 x)}$ в виде произведения.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \frac{1}{\sin (2 x)}))$

Этап 11.3.7

Запишем $\sin (5 x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}))$

Этап 11.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.8.1

Разделим $\sin (5 x)$ на $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \frac{1}{\sin (2 x)}))$

Этап 11.3.8.2

Переведем $\frac{1}{\sin (2 x)}$ в $\csc (2 x)$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

Этап 11.3.9

Разделим дроби.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

Этап 11.3.10

Переведем $\frac{1}{\sin (2 x)}$ в $\csc (2 x)$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{1} \csc (2 x) (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

Этап 11.3.11

Разделим $2$ на $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 \csc (2 x) (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

Этап 11.3.12

Умножим $2 \csc (2 x) (\sin (5 x) \csc (2 x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.12.1

Возведем $\csc (2 x)$ в степень $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 (\csc^{1} (2 x) \csc (2 x)) \sin (5 x))$

Этап 11.3.12.2

Возведем $\csc (2 x)$ в степень $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 (\csc^{1} (2 x) \csc^{1} (2 x)) \sin (5 x))$

Этап 11.3.12.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 {\csc (2 x)}^{1 + 1} \sin (5 x))$

Этап 11.3.12.4

Добавим $1$ и $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x))$

Этап 11.3.13

Умножим $2$ на $- 1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$