Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{4 x^{5} - 4 x^{2} - 3}{8 x^{2} + 4 x - 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 4 x^{5} - 4 x^{2} - 3$ и $g (x) = 8 x^{2} + 4 x - 1$ .

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4 x^{2} - 3] - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 4 x - 1]}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{5} - 4 x^{2} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 4 x - 1]}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{5}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 4 x - 1]}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 4 x - 1]}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.4

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 4 x - 1]}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 4 x - 1]}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 4 x - 1]}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $- 4$ .

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 4 x - 1]}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.8

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x + 0) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 4 x - 1]}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.9

Добавим $20 x^{4} - 8 x$ и $0$ .

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 4 x - 1]}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.10

По правилу суммы производная $8 x^{2} + 4 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.11

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{2}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) (8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) (8 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.13

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) (16 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.14

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) (16 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) (16 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.16

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) (16 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.17

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) (16 x + 4 + 0)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.18

Добавим $16 x + 4$ и $0$ .

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x) - (4 x^{5} - 4 x^{2} - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Развернем $(8 x^{2} + 4 x - 1) (20 x^{4} - 8 x)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{8 x^{2} (20 x^{4}) + 8 x^{2} (- 8 x) + 4 x (20 x^{4}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{8 \cdot 20 x^{2} x^{4} + 8 x^{2} (- 8 x) + 4 x (20 x^{4}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.2.1

Перенесем $x^{4}$ .

$\frac{8 \cdot 20 (x^{4} x^{2}) + 8 x^{2} (- 8 x) + 4 x (20 x^{4}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 \cdot 20 x^{4 + 2} + 8 x^{2} (- 8 x) + 4 x (20 x^{4}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.2.3

Добавим $4$ и $2$ .

$\frac{8 \cdot 20 x^{6} + 8 x^{2} (- 8 x) + 4 x (20 x^{4}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.3

Умножим $8$ на $20$ .

$\frac{160 x^{6} + 8 x^{2} (- 8 x) + 4 x (20 x^{4}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{160 x^{6} + 8 \cdot - 8 x^{2} x + 4 x (20 x^{4}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{160 x^{6} + 8 \cdot - 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x (20 x^{4}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{160 x^{6} + 8 \cdot - 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x (20 x^{4}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{160 x^{6} + 8 \cdot - 8 x^{1 + 2} + 4 x (20 x^{4}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{160 x^{6} + 8 \cdot - 8 x^{3} + 4 x (20 x^{4}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.6

Умножим $8$ на $- 8$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 4 x (20 x^{4}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 4 \cdot 20 x \cdot x^{4} + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.8

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.8.1

Перенесем $x^{4}$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 4 \cdot 20 (x^{4} x) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.8.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 4 \cdot 20 (x^{4} x^{1}) + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 4 \cdot 20 x^{4 + 1} + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.8.3

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 4 \cdot 20 x^{5} + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.9

Умножим $4$ на $20$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} + 4 x (- 8 x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.10

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} + 4 \cdot - 8 x \cdot x - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.11

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.11.1

Перенесем $x$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} + 4 \cdot - 8 (x \cdot x) - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.11.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} + 4 \cdot - 8 x^{2} - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.12

Умножим $4$ на $- 8$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 1 (20 x^{4}) - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.13

Умножим $20$ на $- 1$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} - 1 (- 8 x) + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.14

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x + (- (4 x^{5}) - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x + (- 4 x^{5} - (- 4 x^{2}) - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x + (- 4 x^{5} + 4 x^{2} - - 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x + (- 4 x^{5} + 4 x^{2} + 3) (16 x + 4)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.4

Развернем $(- 4 x^{5} + 4 x^{2} + 3) (16 x + 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 4 x^{5} (16 x) - 4 x^{5} \cdot 4 + 4 x^{2} (16 x) + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 4 \cdot 16 x^{5} x - 4 x^{5} \cdot 4 + 4 x^{2} (16 x) + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.2

Умножим $x^{5}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 4 \cdot 16 (x \cdot x^{5}) - 4 x^{5} \cdot 4 + 4 x^{2} (16 x) + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.2.2

Умножим $x$ на $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 4 \cdot 16 (x^{1} x^{5}) - 4 x^{5} \cdot 4 + 4 x^{2} (16 x) + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 4 \cdot 16 x^{1 + 5} - 4 x^{5} \cdot 4 + 4 x^{2} (16 x) + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.2.3

Добавим $1$ и $5$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 4 \cdot 16 x^{6} - 4 x^{5} \cdot 4 + 4 x^{2} (16 x) + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.3

Умножим $- 4$ на $16$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 4 x^{5} \cdot 4 + 4 x^{2} (16 x) + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.4

Умножим $4$ на $- 4$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 4 x^{2} (16 x) + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 4 \cdot 16 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.6

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.6.1

Перенесем $x$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 4 \cdot 16 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.6.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 4 \cdot 16 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 4 \cdot 16 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 4 \cdot 16 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.7

Умножим $4$ на $16$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 64 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 4 + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.8

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 64 x^{3} + 16 x^{2} + 3 (16 x) + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.9

Умножим $16$ на $3$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 64 x^{3} + 16 x^{2} + 48 x + 3 \cdot 4}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.10

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 64 x^{3} + 16 x^{2} + 48 x + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Объединим противоположные члены в $160 x^{6} - 64 x^{3} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 64 x^{3} + 16 x^{2} + 48 x + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $- 64 x^{3}$ и $64 x^{3}$ .

$\frac{160 x^{6} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 0 + 16 x^{2} + 48 x + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.2.2

Добавим $160 x^{6} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5}$ и $0$ .

$\frac{160 x^{6} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 64 x^{6} - 16 x^{5} + 16 x^{2} + 48 x + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Вычтем $64 x^{6}$ из $160 x^{6}$ .

$\frac{96 x^{6} + 80 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x - 16 x^{5} + 16 x^{2} + 48 x + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Вычтем $16 x^{5}$ из $80 x^{5}$ .

$\frac{96 x^{6} + 64 x^{5} - 32 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x + 16 x^{2} + 48 x + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.5

Добавим $- 32 x^{2}$ и $16 x^{2}$ .

$\frac{96 x^{6} + 64 x^{5} - 16 x^{2} - 20 x^{4} + 8 x + 48 x + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.6

Добавим $8 x$ и $48 x$ .

$\frac{96 x^{6} + 64 x^{5} - 16 x^{2} - 20 x^{4} + 56 x + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Изменим порядок членов.

$\frac{96 x^{6} + 64 x^{5} - 20 x^{4} - 16 x^{2} + 56 x + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $4$ из $96 x^{6} + 64 x^{5} - 20 x^{4} - 16 x^{2} + 56 x + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $96 x^{6}$ .

$\frac{4 (24 x^{6}) + 64 x^{5} - 20 x^{4} - 16 x^{2} + 56 x + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $4$ из $64 x^{5}$ .

$\frac{4 (24 x^{6}) + 4 (16 x^{5}) - 20 x^{4} - 16 x^{2} + 56 x + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $4$ из $- 20 x^{4}$ .

$\frac{4 (24 x^{6}) + 4 (16 x^{5}) + 4 (- 5 x^{4}) - 16 x^{2} + 56 x + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4.4

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x^{2}$ .

$\frac{4 (24 x^{6}) + 4 (16 x^{5}) + 4 (- 5 x^{4}) + 4 (- 4 x^{2}) + 56 x + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4.5

Вынесем множитель $4$ из $56 x$ .

$\frac{4 (24 x^{6}) + 4 (16 x^{5}) + 4 (- 5 x^{4}) + 4 (- 4 x^{2}) + 4 (14 x) + 12}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4.6

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{4 (24 x^{6}) + 4 (16 x^{5}) + 4 (- 5 x^{4}) + 4 (- 4 x^{2}) + 4 (14 x) + 4 (3)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (24 x^{6}) + 4 (16 x^{5})$ .

$\frac{4 (24 x^{6} + 16 x^{5}) + 4 (- 5 x^{4}) + 4 (- 4 x^{2}) + 4 (14 x) + 4 (3)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4.8

Вынесем множитель $4$ из $4 (24 x^{6} + 16 x^{5}) + 4 (- 5 x^{4})$ .

$\frac{4 (24 x^{6} + 16 x^{5} - 5 x^{4}) + 4 (- 4 x^{2}) + 4 (14 x) + 4 (3)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4.9

Вынесем множитель $4$ из $4 (24 x^{6} + 16 x^{5} - 5 x^{4}) + 4 (- 4 x^{2})$ .

$\frac{4 (24 x^{6} + 16 x^{5} - 5 x^{4} - 4 x^{2}) + 4 (14 x) + 4 (3)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4.10

Вынесем множитель $4$ из $4 (24 x^{6} + 16 x^{5} - 5 x^{4} - 4 x^{2}) + 4 (14 x)$ .

$\frac{4 (24 x^{6} + 16 x^{5} - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 14 x) + 4 (3)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4.11

Вынесем множитель $4$ из $4 (24 x^{6} + 16 x^{5} - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 14 x) + 4 (3)$ .

$\frac{4 (24 x^{6} + 16 x^{5} - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 14 x + 3)}{{(8 x^{2} + 4 x - 1)}^{2}}$