Математический анализ Примеры

$6 x^{2} \cos (x) \cot (x)$

Этап 1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2} \cos (x) \cot (x)$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) \cot (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) \cot (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} \cos (x)$ и $g (x) = \cot (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)])$

Этап 3

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)])$

Этап 4

$6 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Этап 5

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (x^{2} (- \sin (x))) + \cot (x) (\cos (x) (2 x)))$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x))) + 6 (\cot (x) (x^{2} (- \sin (x)))) + 6 (\cot (x) (\cos (x) (2 x)))$

Этап 7.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 6 (x^{2} \cos (x) (\csc^{2} (x))) + 6 (\cot (x) (x^{2} (- \sin (x)))) + 6 (\cot (x) (\cos (x) (2 x)))$

Этап 7.3.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 6 x^{2} \cos (x) \csc^{2} (x) - 6 (\cot (x) x^{2} (\sin (x))) + 6 (\cot (x) (\cos (x) (2 x)))$

Этап 7.3.3

Умножим $2$ на $6$ .

$- 6 x^{2} \cos (x) \csc^{2} (x) - 6 \cot (x) x^{2} \sin (x) + 12 \cot (x) \cos (x) x$

Этап 7.4

Изменим порядок членов.

$- 6 x^{2} \csc^{2} (x) \cos (x) - 6 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Этап 7.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$- 6 x^{2} {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cos (x) - 6 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Этап 7.5.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- 6 x^{2} \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 6 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Этап 7.5.3

Единица в любой степени равна единице.

$- 6 x^{2} \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 6 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Этап 7.5.4

Умножим $- 6 x^{2} \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.4.1

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$x^{2} \frac{- 6}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 6 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Этап 7.5.4.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{- 6}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 6}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 6 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Этап 7.5.5

Перенесем $- 6$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{- 6 \cdot x^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 6 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Этап 7.5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6 \cdot x^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 6 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Этап 7.5.7

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{6 x^{2}}{\sin^{2} (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) (6 x^{2})}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Этап 7.5.8

Перенесем $6$ влево от $\cos (x)$ .

$- \frac{6 \cdot \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Этап 7.5.9

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.9.1

Добавим круглые скобки.

$- \frac{6 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} (\cot (x) \sin (x)) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Этап 7.5.9.2

Выразим $- 6 x^{2} \cot (x) \sin (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{6 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Этап 7.5.9.3

Сократим общие множители.

$- \frac{6 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} \cos (x) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Этап 7.5.10

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{6 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} \cos (x) + 12 x \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.5.11

Умножим $12 x \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.11.1

Объединим $12$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{6 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} \cos (x) + x \cos (x) \frac{12 \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.5.11.2

Объединим $\frac{12 \cos (x)}{\sin (x)}$ и $x$ .

$- \frac{6 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 \cos (x) x}{\sin (x)} \cos (x)$

Этап 7.5.11.3

Объединим $\frac{12 \cos (x) x}{\sin (x)}$ и $\cos (x)$ .

$- \frac{6 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 \cos (x) x \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.5.11.4

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- \frac{6 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin (x)}$

Этап 7.5.11.5

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- \frac{6 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin (x)}$

Этап 7.5.11.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{6 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

Этап 7.5.11.7

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{6 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$- \frac{6 \cos (x) x^{2}}{\sin (x) \sin (x)} - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.6.2

Разделим дроби.

$- (\frac{6 x^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.6.3

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$- (\frac{6 x^{2}}{\sin (x)} \cot (x)) - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.6.4

Объединим $\frac{6 x^{2}}{\sin (x)}$ и $\cot (x)$ .

$- \frac{6 x^{2} \cot (x)}{\sin (x)} - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.6.5

Разделим дроби.

$- (\frac{6 x^{2}}{1} \cdot \frac{\cot (x)}{\sin (x)}) - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.6.6

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$- (\frac{6 x^{2}}{1} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}) - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.6.7

Перепишем $\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ в виде произведения.

$- (\frac{6 x^{2}}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)})) - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.6.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.8.1

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$- (\frac{6 x^{2}}{1} (\cot (x) \frac{1}{\sin (x)})) - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.6.8.2

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$- (\frac{6 x^{2}}{1} (\cot (x) \csc (x))) - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.6.9

Разделим $6 x^{2}$ на $1$ .

$- (6 x^{2} (\cot (x) \csc (x))) - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.6.10

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- 6 (x^{2} (\cot (x) \csc (x))) - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.6.11

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$- 6 x^{2} (\cot (x) \csc (x)) - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x (\cos (x) \cos (x))}{\sin (x)}$

Этап 7.6.12

Разделим дроби.

$- 6 x^{2} (\cot (x) \csc (x)) - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x (\cos (x))}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.6.13

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$- 6 x^{2} (\cot (x) \csc (x)) - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x (\cos (x))}{1} \cot (x)$

Этап 7.6.14

Разделим $12 x (\cos (x))$ на $1$ .

$- 6 x^{2} (\cot (x) \csc (x)) - 6 x^{2} \cos (x) + 12 x (\cos (x)) \cot (x)$

$- 6 x^{2} \cot (x) \csc (x) - 6 x^{2} \cos (x) + 12 x (\cos (x)) \cot (x)$