Математический анализ Примеры

$6 x (4 x^{5} - 7 x)$

Этап 1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x (4 x^{5} - 7 x)$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x (4 x^{5} - 7 x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x (4 x^{5} - 7 x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 4 x^{5} - 7 x$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 7 x] + (4 x^{5} - 7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $4 x^{5} - 7 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$6 (x (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]) + (4 x^{5} - 7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{5}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 (x (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]) + (4 x^{5} - 7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$6 (x (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x]) + (4 x^{5} - 7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Умножим $5$ на $4$ .

$6 (x (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x]) + (4 x^{5} - 7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.5

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 (x (20 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x]) + (4 x^{5} - 7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 (x (20 x^{4} - 7 \cdot 1) + (4 x^{5} - 7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.7

Умножим $- 7$ на $1$ .

$6 (x (20 x^{4} - 7) + (4 x^{5} - 7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 (x (20 x^{4} - 7) + (4 x^{5} - 7 x) \cdot 1)$

Этап 3.9

Умножим $4 x^{5} - 7 x$ на $1$ .

$6 (x (20 x^{4} - 7) + 4 x^{5} - 7 x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x (20 x^{4}) + x \cdot - 7 + 4 x^{5} - 7 x)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x (20 x^{4})) + 6 (x \cdot - 7) + 6 (4 x^{5}) + 6 (- 7 x)$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 (20 (x^{1} x^{4})) + 6 (x \cdot - 7) + 6 (4 x^{5}) + 6 (- 7 x)$

Этап 4.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 (20 x^{1 + 4}) + 6 (x \cdot - 7) + 6 (4 x^{5}) + 6 (- 7 x)$

Этап 4.3.3

Добавим $1$ и $4$ .

$6 (20 x^{5}) + 6 (x \cdot - 7) + 6 (4 x^{5}) + 6 (- 7 x)$

Этап 4.3.4

Умножим $20$ на $6$ .

$120 x^{5} + 6 (x \cdot - 7) + 6 (4 x^{5}) + 6 (- 7 x)$

Этап 4.3.5

Перенесем $- 7$ влево от $x$ .

$120 x^{5} + 6 (- 7 \cdot x) + 6 (4 x^{5}) + 6 (- 7 x)$

Этап 4.3.6

Умножим $- 7$ на $6$ .

$120 x^{5} - 42 x + 6 (4 x^{5}) + 6 (- 7 x)$

Этап 4.3.7

Умножим $4$ на $6$ .

$120 x^{5} - 42 x + 24 x^{5} + 6 (- 7 x)$

Этап 4.3.8

Добавим $120 x^{5}$ и $24 x^{5}$ .

$144 x^{5} - 42 x + 6 (- 7 x)$

Этап 4.3.9

Умножим $- 7$ на $6$ .

$144 x^{5} - 42 x - 42 x$

Этап 4.3.10

Вычтем $42 x$ из $- 42 x$ .

$144 x^{5} - 84 x$