Математический анализ Примеры

$\arctan (x e^{x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = x e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Этап 1.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Этап 4.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило умножения к $x e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} {(e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x})$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} e^{x \cdot 2}} (x e^{x} + e^{x})$

Этап 5.2.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}} (x e^{x} + e^{x})$

Этап 5.3

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}} (x e^{x} + e^{x})$ .

$(x e^{x} + e^{x}) \frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

Этап 5.4

Умножим $x e^{x} + e^{x}$ на $\frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}}$ .

$\frac{x e^{x} + e^{x}}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

Этап 5.5

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x e^{x} + e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x e^{x}$ .

$\frac{e^{x} x + e^{x}}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

Этап 5.5.2

Умножим на $1$ .

$\frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 1}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

Этап 5.5.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (x + 1)}{1 + x^{2} e^{2 x}}$