Математический анализ Примеры

$\arctan (\frac{6 x}{5})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = \frac{6 x}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{6 x}{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{6 x}{5}]$

Этап 1.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{6 x}{5}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{6 x}{5}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{6 x}{5}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{6}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{6 x}{5}$ по $x$ равна $\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2}} (\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2

Умножим $\frac{6}{5}$ на $\frac{1}{1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2}}$ .

$\frac{6}{5 (1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{6}{5 (1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2})} \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $\frac{6}{5 (1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2})}$ на $1$ .

$\frac{6}{5 (1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2})}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило умножения к $\frac{6 x}{5}$ .

$\frac{6}{5 (1 + \frac{{(6 x)}^{2}}{5^{2}})}$

Этап 3.2

Применим правило умножения к $6 x$ .

$\frac{6}{5 (1 + \frac{6^{2} x^{2}}{5^{2}})}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6}{5 \cdot 1 + 5 \frac{6^{2} x^{2}}{5^{2}}}$

Этап 3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{6}{5 + 5 \frac{6^{2} x^{2}}{5^{2}}}$

Этап 3.4.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{6}{5 + 5 \frac{36 x^{2}}{5^{2}}}$

Этап 3.4.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{6}{5 + 5 \frac{36 x^{2}}{25}}$

Этап 3.4.4

Объединим $5$ и $\frac{36 x^{2}}{25}$ .

$\frac{6}{5 + \frac{5 (36 x^{2})}{25}}$

Этап 3.4.5

Умножим $36$ на $5$ .

$\frac{6}{5 + \frac{180 x^{2}}{25}}$

Этап 3.4.6

Сократим общий множитель $180$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Вынесем множитель $5$ из $180 x^{2}$ .

$\frac{6}{5 + \frac{5 (36 x^{2})}{25}}$

Этап 3.4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\frac{6}{5 + \frac{5 (36 x^{2})}{5 (5)}}$

Этап 3.4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{5 + \frac{5 (36 x^{2})}{5 \cdot 5}}$

Этап 3.4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{5 + \frac{36 x^{2}}{5}}$

Этап 3.5

Изменим порядок членов.

$\frac{6}{\frac{36 x^{2}}{5} + 5}$

Этап 3.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{\frac{36 x^{2}}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}}$

Этап 3.6.2

Объединим $5$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{\frac{36 x^{2}}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}}$

Этап 3.6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6}{\frac{36 x^{2} + 5 \cdot 5}{5}}$

Этап 3.6.4

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{6}{\frac{36 x^{2} + 25}{5}}$

Этап 3.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$6 \frac{5}{36 x^{2} + 25}$

Этап 3.8

Умножим $6 \frac{5}{36 x^{2} + 25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Объединим $6$ и $\frac{5}{36 x^{2} + 25}$ .

$\frac{6 \cdot 5}{36 x^{2} + 25}$

Этап 3.8.2

Умножим $6$ на $5$ .

$\frac{30}{36 x^{2} + 25}$