Математический анализ Примеры

$f (x) = (x^{3} - 12 x) (3 x^{2} + 2 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3} - 12 x$ и $g (x) = 3 x^{2} + 2 x$ .

$(x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x] + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$(x^{3} - 12 x) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

Этап 2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{3} - 12 x) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{3} - 12 x) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $3$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + \frac{d}{d x} [2 x]) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

Этап 2.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2 \cdot 1) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $1$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $x^{3} - 12 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Этап 2.10

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12 \cdot 1)$

Этап 2.12

Умножим $- 12$ на $1$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $1$ из $(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $1$ из $(x^{3} - 12 x) (6 x + 2)$ .

$1 ((x^{3} - 12 x) (6 x + 2)) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $1$ из $(3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$ .

$1 ((x^{3} - 12 x) (6 x + 2)) + 1 ((3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12))$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $1$ из $1 ((x^{3} - 12 x) (6 x + 2)) + 1 ((3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12))$ .

$1 ((x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12))$

Этап 3.2

Умножим $(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$ на $1$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Этап 3.3

Изменим порядок членов.

$(6 x + 2) (x^{3} - 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Этап 3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Развернем $(6 x + 2) (x^{3} - 12 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x (x^{3} - 12 x) + 2 (x^{3} - 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Этап 3.4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x \cdot x^{3} + 6 x (- 12 x) + 2 (x^{3} - 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Этап 3.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x \cdot x^{3} + 6 x (- 12 x) + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Этап 3.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$6 (x^{3} x) + 6 x (- 12 x) + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 (x^{3} x^{1}) + 6 x (- 12 x) + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Этап 3.4.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{3 + 1} + 6 x (- 12 x) + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Этап 3.4.2.1.3

Добавим $3$ и $1$ .

$6 x^{4} + 6 x (- 12 x) + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Этап 3.4.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 x^{4} + 6 \cdot - 12 x \cdot x + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Этап 3.4.2.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Перенесем $x$ .

$6 x^{4} + 6 \cdot - 12 (x \cdot x) + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Этап 3.4.2.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$6 x^{4} + 6 \cdot - 12 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Этап 3.4.2.4

Умножим $6$ на $- 12$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Этап 3.4.2.5

Умножим $- 12$ на $2$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Этап 3.4.3

Развернем $(3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 x^{2} (3 x^{2} - 12) + 2 x (3 x^{2} - 12)$

Этап 3.4.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2} - 12)$

Этап 3.4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

Этап 3.4.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

Этап 3.4.4.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 \cdot 3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

Этап 3.4.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 \cdot 3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

Этап 3.4.4.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 \cdot 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

Этап 3.4.4.3

Умножим $3$ на $3$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

Этап 3.4.4.4

Умножим $- 12$ на $3$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

Этап 3.4.4.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 2 \cdot 3 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot - 12$

Этап 3.4.4.6

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.1

Перенесем $x^{2}$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 2 \cdot 3 (x^{2} x) + 2 x \cdot - 12$

Этап 3.4.4.6.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 2 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot - 12$

Этап 3.4.4.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2 + 1} + 2 x \cdot - 12$

Этап 3.4.4.6.3

Добавим $2$ и $1$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{3} + 2 x \cdot - 12$

Этап 3.4.4.7

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 6 x^{3} + 2 x \cdot - 12$

Этап 3.4.4.8

Умножим $- 12$ на $2$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 6 x^{3} - 24 x$

Этап 3.5

Добавим $6 x^{4}$ и $9 x^{4}$ .

$15 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x - 36 x^{2} + 6 x^{3} - 24 x$

Этап 3.6

Вычтем $36 x^{2}$ из $- 72 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 108 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 6 x^{3} - 24 x$

Этап 3.7

Добавим $2 x^{3}$ и $6 x^{3}$ .

$15 x^{4} - 108 x^{2} + 8 x^{3} - 24 x - 24 x$

Этап 3.8

Вычтем $24 x$ из $- 24 x$ .

$15 x^{4} - 108 x^{2} + 8 x^{3} - 48 x$