Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2^{x}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Этап 1.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Этап 1.1.3

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $2^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2^{x} \ln (2)}$

Этап 2

Вынесем член $\frac{2}{\ln (2)}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{x}{2^{x}}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Этап 3.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Этап 3.1.3

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $2^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Этап 3.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Этап 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{2^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Этап 3.3.3

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2^{x} \ln (2)}$

Этап 4

Вынесем член $\frac{1}{\ln (2)}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2^{x}}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{2^{x}}$ стремится к $0$ .

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 0$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $\frac{2}{\ln (2)}$ на $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{2}{\ln (2) \ln (2)} \cdot 0$

Этап 6.1.2

Возведем $\ln (2)$ в степень $1$ .

$\frac{2}{\ln^{1} (2) \ln (2)} \cdot 0$

Этап 6.1.3

Возведем $\ln (2)$ в степень $1$ .

$\frac{2}{\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)} \cdot 0$

Этап 6.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2}{{\ln (2)}^{1 + 1}} \cdot 0$

Этап 6.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{\ln^{2} (2)} \cdot 0$

Этап 6.2

Умножим $\frac{2}{\ln^{2} (2)}$ на $0$ .

$0$