Математический анализ Примеры

$- \cos (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \ln (\sec (x) + \tan (x))$ .

$- (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x) + \tan (x))] + \ln (\sec (x) + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \sec (x) + \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x) + \tan (x)$ .

$- (\cos (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]) + \ln (\sec (x) + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$- (\cos (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]) + \ln (\sec (x) + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x) + \tan (x)$ .

$- (\cos (x) (\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]) + \ln (\sec (x) + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ и $\cos (x)$ .

$- (\frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)] + \ln (\sec (x) + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $\sec (x) + \tan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$- (\frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \ln (\sec (x) + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 5

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$- (\frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \ln (\sec (x) + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 6

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$- (\frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) + \ln (\sec (x) + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 7

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- (\frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) + \ln (\sec (x) + \tan (x)) (- \sin (x)))$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- (\frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))) - (\ln (\sec (x) + \tan (x)) (- \sin (x)))$

Этап 8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) + 1 (\ln (\sec (x) + \tan (x)) (\sin (x)))$

Этап 8.2.2

Умножим $\ln (\sec (x) + \tan (x))$ на $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) + \ln (\sec (x) + \tan (x)) \sin (x)$

Этап 8.3

Изменим порядок членов.

$- (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$- (\frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4.1.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$- (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x)) \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4.1.3

Умножим $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.3.1

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$- (\frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)) \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4.1.3.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- (\frac{\sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)) \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4.1.3.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- (\frac{\sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \sec^{2} (x)) \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- (\frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \sec^{2} (x)) \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- (\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x)) \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4.1.4

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$- (\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}) \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4.1.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- (\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}) \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$- (\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}) \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}) \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.3.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$(- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}) \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4.3.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$(- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}) \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4.5

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ в числитель.

$\frac{- \sin (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4.5.2

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4.5.3

Сократим общий множитель.

Этап 8.4.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4.6

Умножим $\frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4.7

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в числитель.

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \frac{- 1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4.7.2

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \frac{- 1}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4.7.3

Сократим общий множитель.

Этап 8.4.7.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \frac{- 1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4.8

Умножим $\frac{- 1}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \frac{- 1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \frac{- 1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4.9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 8.4.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.10.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x))$

Этап 8.4.10.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 8.5

Чтобы записать $\sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cdot \frac{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.6

Объединим $\sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ и $\frac{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \frac{\sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \sin (x) + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- \sin (x) + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.8.1.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ .

$\frac{\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) (\ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.8.1.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) (\ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$ .

$\frac{\sin (x) (- 1 + \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x) (- 1 + \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.8.3

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.3.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- 1 + \cos (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{1}{\cos (x)} + \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.8.3.2

Сократим общий множитель.

Этап 8.8.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (x) (- 1 + \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.8.4

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.4.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- 1 + \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.8.4.2

Сократим общий множитель.

Этап 8.8.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (x) (- 1 + \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \sin (x))}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (x) (- 1 + \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \sin (x)) - 1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \sin (x) (\ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \sin (x)) - 1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.10.2.1

Перенесем $- 1$ влево от $\sin (x)$ .

$\frac{- 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \sin (x) (\ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \sin (x)) - 1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.10.2.2

Умножим $\sin (x) (\ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.10.2.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \sin^{1} (x) \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.10.2.2.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.10.2.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + {\sin (x)}^{1 + 1} \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.10.2.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \sin^{2} (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.10.3

Перепишем $- 1 \sin (x)$ в виде $- \sin (x)$ .

$\frac{- \sin (x) + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \sin^{2} (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.10.4

Перепишем $- \sin (x) + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \sin^{2} (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 1$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.10.4.1

Изменим порядок членов.

$\frac{\sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \sin^{2} (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 1 - \sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.10.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.10.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(\sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \sin^{2} (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) - 1 - \sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.10.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{\sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 + \sin (x)) - 1 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.10.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $1 + \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (\sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 1)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.1

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (\sin (x) \ln (\sec (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 1)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.11.2

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (\sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x)) - 1)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.12.1

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (\sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x)) - 1)}{\cos (x) (\sec (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 8.12.2

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (\sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x)) - 1)}{\cos (x) (\sec (x) + \tan (x))}$