Математический анализ Примеры

$\cos (\arctan (2 x))$

Этап 1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, 2 x)$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $\arctan (2 x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, 2 x)$ . Следовательно, $\cos (\arctan (2 x))$ равно $\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}}]$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 (x))}^{2}}}]$

Этап 1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило умножения к $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}}}]$

Этап 1.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}]$

Этап 1.3.3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ в виде ${(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.3.4

Перепишем $\frac{1}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 1.3.5

Перемножим экспоненты в ${({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Этап 1.3.5.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}]$

Этап 1.3.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [{(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ и $g (x) = 1 + 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + 4 x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Этап 7.2

Объединим ${(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Этап 7.3

Перенесем ${(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Этап 8

По правилу суммы производная $1 + 4 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Этап 9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Этап 10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Этап 11

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 12.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 4}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 12.3

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 ({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Этап 16

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Этап 16.2

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Этап 16.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{- 4}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Этап 16.4

Объединим $\frac{- 4}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{- 4 x}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 16.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 x}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$