Математический анализ Примеры

$\cos (\arctan (\ln (x)))$

Этап 1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, \ln (x))$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $\arctan (\ln (x))$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, \ln (x))$ . Следовательно, $\cos (\arctan (\ln (x)))$ равно $\frac{1}{\sqrt{1 + \ln^{2} (x)}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + \ln^{2} (x)}}]$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + \ln^{2} (x)}$ в виде ${(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.3

Перепишем $\frac{1}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 1.4

Перемножим экспоненты в ${({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Этап 1.4.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 1}{2}}]$

Этап 1.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [{(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ и $g (x) = 1 + \ln^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $1 + \ln^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + \ln^{2} (x)$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Этап 7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Этап 7.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим ${(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Этап 7.2.2

Перенесем ${(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Этап 7.3

По правилу суммы производная $1 + \ln^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Этап 7.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Этап 7.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Этап 8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\ln (x)$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 8.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\ln (x)$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 9

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 9.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 9.3

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{- 2}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\ln (x) \cdot - 2}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 9.4

Перенесем $- 2$ влево от $\ln (x)$ .

$\frac{- 2 \cdot \ln (x)}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 9.5

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \ln (x)$ .

$\frac{2 (- \ln (x))}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 10

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- \ln (x))}{2 ({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 10.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- \ln (x))}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 10.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 12

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 13

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{\ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$