Математический анализ Примеры

$\arctan (x - 1)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 1.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} (1 + 0)$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} \cdot 1$

Этап 2.4.2

Умножим $\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}}$ на $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2} + 1}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{(x - 1) (x - 1) + 1}$

Этап 3.2.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x (x - 1) - 1 (x - 1) + 1}$

Этап 3.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1}$

Этап 3.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Этап 3.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1}{x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Этап 3.2.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Этап 3.2.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{1}{x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Этап 3.2.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{1}{x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Этап 3.2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - x - x + 1 + 1}$

Этап 3.2.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1 + 1}$

Этап 3.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 2}$