Математический анализ Примеры

$\cos ({(1 - x^{2})}^{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = {(1 - x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(1 - x^{2})}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{2}]$

Этап 1.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{2}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(1 - x^{2})}^{2}$ .

$- \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{2}]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $1 - x^{2}$ .

$- \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 - x^{2}$ .

$- \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (2 (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Этап 3.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Этап 3.6

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (2 x))$

Этап 3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Перенесем $2$ влево от $1 - x^{2}$ .

$2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (2 \cdot (1 - x^{2}) x)$

Этап 3.8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (1 x - x^{2} x)$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $x$ на $1$ .

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (x - x^{2} x)$

Этап 4.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (x - (x^{1} x^{2}))$

Этап 4.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (x - x^{1 + 2})$

Этап 4.2.4

Добавим $1$ и $2$ .

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (x - x^{3})$