Математический анализ Примеры

$\cos (\sqrt{x^{2} + 1})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 1}$ в виде ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\cos ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2} + 1$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} + 1$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 8.3

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 9

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 11

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Этап 12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Этап 12.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x$

Этап 12.3

Объединим $- 2$ и $\frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x$

Этап 12.4

Объединим $\frac{- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.5

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x$ .

$\frac{2 (- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x)}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15

Изменим порядок множителей в $\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x$ .

$- \frac{x \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$