Математический анализ Примеры

$\cot (x) \sec (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = \sec (x)$ .

$\cot (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\cot (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 3

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$\cot (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc^{2} (x))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$\cot (x) \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Выразим $\cot (x) \sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Этап 4.2.1.2

Сократим общие множители.

$\frac{1}{\sin (x)} \tan (x) - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Этап 4.2.2

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\csc (x) \tan (x) - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Этап 4.2.3

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Изменим порядок $\csc (x)$ и $\tan (x)$ .

$\tan (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Этап 4.2.3.2

Выразим $\csc (x) \tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Этап 4.2.3.3

Сократим общие множители.

$\frac{1}{\cos (x)} - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Этап 4.2.4

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\sec (x) - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Этап 4.3

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) - \csc^{2} (x) \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим на $1$ .

$\sec (x) \cdot 1 - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $- \csc^{2} (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \csc^{2} (x))$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \csc^{2} (x))$ .

$\sec (x) (1 - \csc^{2} (x))$

Этап 4.4

Изменим порядок $1$ и $- \csc^{2} (x)$ .

$\sec (x) (- \csc^{2} (x) + 1)$

Этап 4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \csc^{2} (x)$ .

$\sec (x) (- (\csc^{2} (x)) + 1)$

Этап 4.6

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\sec (x) (- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1)$

Этап 4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\sec (x) (- (\csc^{2} (x) - 1))$

Этап 4.8

Применим формулу Пифагора.

$\sec (x) (- \cot^{2} (x))$

Этап 4.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \sec (x) \cot^{2} (x)$