Математический анализ Примеры

$\csc (x) \tan (x) \cos (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \csc (x) \tan (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$\csc (x) \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\csc (x) \tan (x)]$

Этап 2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\csc (x) \tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\csc (x) \tan (x)]$

Этап 3

$\csc (x) \tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Этап 4

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\csc (x) \tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\csc (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Этап 5

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\csc (x) \tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\csc (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\csc (x) \tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\csc (x) \sec^{2} (x)) + \cos (x) (\tan (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Этап 6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\csc (x) \tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \csc (x) \sec^{2} (x) + \cos (x) \tan (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$- \csc (x) \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Этап 6.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Добавим круглые скобки.

$- (\csc (x) \sin (x)) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Этап 6.4.1.2

Выразим $- \csc (x) \sin (x)$ через синусы и косинусы.

$- (\frac{1}{\sin (x)} \sin (x)) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Этап 6.4.1.3

Сократим общие множители.

$- 1 \cdot 1 \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Этап 6.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Этап 6.4.3

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Этап 6.4.4

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Этап 6.4.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Этап 6.4.6

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.6.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Этап 6.4.6.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Этап 6.4.6.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x)} \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Этап 6.4.7

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Этап 6.4.8

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Этап 6.4.9

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Этап 6.4.10

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \tan (x)$

Этап 6.4.11

Умножим $- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.11.1

Объединим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ и $\cos (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \tan (x)$

Этап 6.4.11.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \tan (x)$

Этап 6.4.11.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} \csc (x) \tan (x)$

Этап 6.4.11.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} \csc (x) \tan (x)$

Этап 6.4.11.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} \csc (x) \tan (x)$

Этап 6.4.12

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \tan (x)$

Этап 6.4.13

Умножим $- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.13.1

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} \tan (x)$

Этап 6.4.13.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} \tan (x)$

Этап 6.4.13.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} \tan (x)$

Этап 6.4.13.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \tan (x)$

Этап 6.4.13.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \tan (x)$

Этап 6.4.14

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 6.4.15

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.15.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ в числитель.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 6.4.15.2

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- \cos^{2} (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 6.4.15.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 6.4.15.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

Этап 6.4.16

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.16.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Этап 6.4.16.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Этап 6.4.16.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 6.4.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 6.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$- \tan (x) + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 6.5.2

Разделим дроби.

$- \tan (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 6.5.3

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + \frac{1}{\sin (x)} \sec (x) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 6.5.4

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$- \tan (x) + \csc (x) \sec (x) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 6.5.5

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$- \tan (x) + \csc (x) \sec (x) - \cot (x)$