Математический анализ Примеры

$D x (\sqrt{5 x y})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x y}$ в виде ${(5 x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [D x {(5 x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x y$ .

$\frac{d}{d x} [D x {(5 (x y))}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2.2

Применим правило умножения к $5 (x y)$ .

$\frac{d}{d x} [D x (5^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 1.3

Поскольку $D \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $D x (5^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}})$ по $x$ равна $D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x ({(x y)}^{\frac{1}{2}})]$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x ({(x y)}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}] + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8.3

Перенесем ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y] + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (y \frac{d}{d x} [x]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 10

Объединим $y$ и $\frac{x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 12

Умножим $\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 14

Умножим ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Применим правило умножения к $x y$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} + {(x y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 15.2

Применим правило умножения к $x y$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 15.3

Применим свойство дистрибутивности.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y x}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 15.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Перенесем $y^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y x y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 15.4.2

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y x y^{- \frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 15.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.3.1

Умножим $y$ на $y^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.3.1.1

Перенесем $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{- \frac{1}{2}} y x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 15.4.3.1.2

Умножим $y^{- \frac{1}{2}}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.3.1.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{- \frac{1}{2}} y^{1} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 15.4.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{- \frac{1}{2} + 1} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 15.4.3.1.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 15.4.3.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{- 1 + 2}{2}} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 15.4.3.1.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 15.4.3.2

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.3.2.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 15.4.3.2.2

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 15.4.3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 15.4.3.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 15.4.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 15.4.3.2.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 15.4.4

Объединим $D$ и $\frac{y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$5^{\frac{1}{2}} \frac{D (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 15.4.5

Объединим $5^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{D (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} (D (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 15.4.6

Изменим порядок $D$ и $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2} + 5^{\frac{1}{2}} \cdot D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$

Этап 15.4.7

Чтобы записать $5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2} + 5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 15.4.8

Объединим $5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Этап 15.4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + 5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Этап 15.4.10

Перенесем $2$ влево от $5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot (5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{2}$

Этап 15.4.11

Добавим $5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ и $2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 15.5

Изменим порядок членов.

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} D}{2}$

Этап 15.6

Изменим порядок множителей в $\frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} D}{2}$ .

$\frac{3 D \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2}$