Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 + 3 \ln (\frac{1}{x})$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 + 3 \ln (\frac{1}{x})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$

Этап 1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \ln (\frac{1}{x})$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{1}{x}$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Этап 2.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{x}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} (- x^{- 2}))$

Этап 2.5

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{x}$ .

$0 + 3 (1 x (- x^{- 2}))$

Этап 2.6

Умножим $x$ на $1$ .

$0 + 3 (x (- x^{- 2}))$

Этап 2.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$0 + 3 (- (x^{1} x^{- 2}))$

Этап 2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$0 + 3 (- x^{1 - 2})$

Этап 2.9

Вычтем $2$ из $1$ .

$0 + 3 (- x^{- 1})$

Этап 2.10

Умножим $- 1$ на $3$ .

$0 - 3 x^{- 1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 3 \frac{1}{x}$

Этап 3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{- 3}{x}$

Этап 3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - \frac{3}{x}$

Этап 3.2.3

Вычтем $\frac{3}{x}$ из $0$ .

$- \frac{3}{x}$