Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} {(x - 9)}^{2}$

Этап 1

Перепишем ${(x - 9)}^{2}$ в виде $(x - 9) (x - 9)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} ((x - 9) (x - 9))]$

Этап 2

Развернем $(x - 9) (x - 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x (x - 9) - 9 (x - 9))]$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 (x - 9))]$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9)]$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9)]$

Этап 3.1.2

Перенесем $- 9$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 9 \cdot x - 9 x - 9 \cdot - 9)]$

Этап 3.1.3

Умножим $- 9$ на $- 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 9 x - 9 x + 81)]$

Этап 3.2

Вычтем $9 x$ из $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 18 x + 81)]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x^{2} - 18 x + 81$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 18 x + 81] + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 18 x + 81$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5.3

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18 x$ по $x$ равна $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (2 x - 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{3} (2 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5.5

Умножим $- 18$ на $1$ .

$x^{3} (2 x - 18 + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5.6

Поскольку $81$ является константой относительно $x$ , производная $81$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{3} (2 x - 18 + 0) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5.7

Добавим $2 x - 18$ и $0$ .

$x^{3} (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{3} (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x + 81) (3 x^{2})$

Этап 5.9

Перенесем $3$ влево от $x^{2} - 18 x + 81$ .

$x^{3} (2 x - 18) + 3 \cdot (x^{2} - 18 x + 81) x^{2}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 18 + 3 (x^{2} - 18 x + 81) x^{2}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 18 + (3 x^{2} + 3 (- 18 x) + 3 \cdot 81) x^{2}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Этап 6.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Перенесем $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Этап 6.4.1.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Этап 6.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Этап 6.4.1.3

Добавим $1$ и $3$ .

$x^{4} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Этап 6.4.2

Перенесем $2$ влево от $x^{4}$ .

$2 \cdot x^{4} + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Этап 6.4.3

Перенесем $- 18$ влево от $x^{3}$ .

$2 x^{4} - 18 \cdot x^{3} + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Этап 6.4.4

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Этап 6.4.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{2 + 2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Этап 6.4.4.3

Добавим $2$ и $2$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Этап 6.4.5

Умножим $- 18$ на $3$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Этап 6.4.6

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.6.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 (x^{2} x) + 3 \cdot 81 x^{2}$

Этап 6.4.6.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 81 x^{2}$

Этап 6.4.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x^{2 + 1} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Этап 6.4.6.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x^{3} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Этап 6.4.7

Умножим $3$ на $81$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x^{3} + 243 x^{2}$

Этап 6.4.8

Добавим $2 x^{4}$ и $3 x^{4}$ .

$5 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{3} + 243 x^{2}$

Этап 6.4.9

Вычтем $54 x^{3}$ из $- 18 x^{3}$ .

$5 x^{4} - 72 x^{3} + 243 x^{2}$