Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{8 x}{x^{5} + 3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 8 x$ и $g (x) = x^{5} + 3$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [8 x] - 1 \cdot 8 x \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{5} + 3) (8 \frac{d}{d x} [x]) - 1 \cdot 8 x \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{5} + 3) (8 \cdot 1) - 1 \cdot 8 x \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 2.3

Умножим $8$ на $1$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 2.4

По правилу суммы производная $x^{5} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 2.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4} + 0)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 2.7

Добавим $5 x^{4}$ и $0$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{5} \cdot 8 + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перенесем $8$ влево от $x^{5}$ .

$\frac{8 \cdot x^{5} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 x \cdot x^{4}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.1.4

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Перенесем $x^{4}$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 (x^{4} x)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.1.4.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 (x^{4} x^{1})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 x^{4 + 1}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.1.4.3

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 x^{5}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5

Умножим $- 1 \cdot 8 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 8 \cdot 5 x^{5}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.2

Умножим $- 8$ на $5$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 40 x^{5}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Вычтем $40 x^{5}$ из $8 x^{5}$ .

$\frac{- 32 x^{5} + 24}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $8$ из $- 32 x^{5} + 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $8$ из $- 32 x^{5}$ .

$\frac{8 (- 4 x^{5}) + 24}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $8$ из $24$ .

$\frac{8 (- 4 x^{5}) + 8 (3)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $8$ из $8 (- 4 x^{5}) + 8 (3)$ .

$\frac{8 (- 4 x^{5} + 3)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x^{5}$ .

$\frac{8 (- (4 x^{5}) + 3)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 3.5

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$\frac{8 (- (4 x^{5}) - 1 (- 3))}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x^{5}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{8 (- (4 x^{5} - 3))}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 3.7

Перепишем $- (4 x^{5} - 3)$ в виде $- 1 (4 x^{5} - 3)$ .

$\frac{8 (- 1 (4 x^{5} - 3))}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8 (4 x^{5} - 3)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$