Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} - x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{x}$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$3 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$3 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$3 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 x^{2} - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.9

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{- 2}$

Этап 4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 5

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} - \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$