Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{3} - 13 x - \frac{5}{x^{3}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $3 x^{3} - 13 x - \frac{5}{x^{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 13 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 13 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 13 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 13 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Этап 2.3

Умножим $3$ на $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 13 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 13 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 13$ является константой относительно $x$ , производная $- 13 x$ по $x$ равна $- 13 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 13 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 x^{2} - 13 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Этап 3.3

Умножим $- 13$ на $1$ .

$9 x^{2} - 13 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{5}{x^{3}}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$9 x^{2} - 13 - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Этап 4.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$9 x^{2} - 13 - 5 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$9 x^{2} - 13 - 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$9 x^{2} - 13 - 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$9 x^{2} - 13 - 5 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$9 x^{2} - 13 - 5 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Этап 4.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{2} - 13 - 5 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Этап 4.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$9 x^{2} - 13 - 5 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Этап 4.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$9 x^{2} - 13 - 5 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Этап 4.7

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$9 x^{2} - 13 - 5 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Этап 4.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 x^{2} - 13 - 5 (- 3 x^{2 - 6})$

Этап 4.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$9 x^{2} - 13 - 5 (- 3 x^{- 4})$

Этап 4.8

Умножим $- 3$ на $- 5$ .

$9 x^{2} - 13 + 15 x^{- 4}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 x^{2} - 13 + 15 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 5.2

Объединим $15$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$9 x^{2} - 13 + \frac{15}{x^{4}}$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$9 x^{2} + \frac{15}{x^{4}} - 13$