Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 e^{x} \cos (x) - \sin (x) \cdot (4 e^{x})$

Этап 1

По правилу суммы производная $4 e^{x} \cos (x) - \sin (x) \cdot (4 e^{x})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [4 e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 e^{x} \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 e^{x} \cos (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Этап 2.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cdot e^{x}]$

Этап 3.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 \sin (x) e^{x}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) e^{x}]$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) e^{x}]$

Этап 3.3

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.4

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.5

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x} + e^{x} \cos (x))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (e^{x} (- \sin (x))) + 4 (\cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x} + e^{x} \cos (x))$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (e^{x} (- \sin (x))) + 4 (\cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x}) - 4 (e^{x} \cos (x))$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 (e^{x} (\sin (x))) + 4 (\cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x}) - 4 (e^{x} \cos (x))$

Этап 4.3.2

Вычтем $4 \sin (x) e^{x}$ из $- 4 e^{x} \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Перенесем $\sin (x)$ .

$- 4 e^{x} \sin (x) - 4 e^{x} \sin (x) + 4 \cos (x) e^{x} - 4 e^{x} \cos (x)$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $4 e^{x} \sin (x)$ из $- 4 e^{x} \sin (x)$ .

$- 8 e^{x} \sin (x) + 4 \cos (x) e^{x} - 4 e^{x} \cos (x)$

Этап 4.3.3

Вычтем $4 e^{x} \cos (x)$ из $4 \cos (x) e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перенесем $\cos (x)$ .

$- 8 e^{x} \sin (x) + 4 e^{x} \cos (x) - 4 e^{x} \cos (x)$

Этап 4.3.3.2

Вычтем $4 e^{x} \cos (x)$ из $4 e^{x} \cos (x)$ .

$- 8 e^{x} \sin (x) + 0$

Этап 4.3.4

Добавим $- 8 e^{x} \sin (x)$ и $0$ .

$- 8 e^{x} \sin (x)$