Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 e^{- 3 x} \tan (2 x)$

Этап 1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 e^{- 3 x} \tan (2 x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} \tan (2 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} \tan (2 x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{- 3 x}$ и $g (x) = \tan (2 x)$ .

$4 (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$4 (e^{- 3 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Этап 3.2

Производная $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec^{2} (u_{1})$ .

$4 (e^{- 3 x} (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$4 (e^{- 3 x} (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (e^{- 3 x} (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (e^{- 3 x} (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$4 (e^{- 3 x} (\sec^{2} (2 x) \cdot 2) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Этап 4.3.2

Перенесем $2$ влево от $\sec^{2} (2 x)$ .

$4 (e^{- 3 x} (2 \cdot \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- 3 x$ .

$4 (e^{- 3 x} (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$4 (e^{- 3 x} (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 3 x$ .

$4 (e^{- 3 x} (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (e^{- 3 x} (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])))$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (e^{- 3 x} (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)))$

Этап 6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$4 (e^{- 3 x} (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) (e^{- 3 x} \cdot - 3))$

Этап 6.3.2

Перенесем $- 3$ влево от $e^{- 3 x}$ .

$4 (e^{- 3 x} (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) (- 3 \cdot e^{- 3 x}))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (e^{- 3 x} (2 \sec^{2} (2 x))) + 4 (\tan (2 x) (- 3 e^{- 3 x}))$

Этап 7.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $2$ на $4$ .

$8 (e^{- 3 x} (\sec^{2} (2 x))) + 4 (\tan (2 x) (- 3 e^{- 3 x}))$

Этап 7.2.2

Умножим $- 3$ на $4$ .

$8 e^{- 3 x} \sec^{2} (2 x) - 12 \tan (2 x) e^{- 3 x}$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$8 e^{- 3 x} \sec^{2} (2 x) - 12 e^{- 3 x} \tan (2 x)$