Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 \cos (x) + \sin^{2} (x)$

Этап 1

По правилу суммы производная $4 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \cos (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Этап 2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$4 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Этап 2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$- 4 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$2 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - 4 \sin (x)$

Этап 4.2.2

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - 4 \sin (x)$

Этап 4.2.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (2 x) - 4 \sin (x)$