Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 \cos (2 \ln (x))$

Этап 1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \cos (2 \ln (x))$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\cos (2 \ln (x))]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (2 \ln (x))]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 \ln (x)$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 \ln (x)])$

Этап 2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 \ln (x)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 \ln (x)$ .

$4 (- \sin (2 \ln (x)) \frac{d}{d x} [2 \ln (x)])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 (\sin (2 \ln (x)) \frac{d}{d x} [2 \ln (x)])$

Этап 3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \ln (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$- 4 \sin (2 \ln (x)) (2 \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- 8 \sin (2 \ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$- 8 \sin (2 \ln (x)) \frac{1}{x}$

Этап 5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $- 8$ .

$\frac{- 8}{x} \sin (2 \ln (x))$

Этап 5.2

Объединим $\frac{- 8}{x}$ и $\sin (2 \ln (x))$ .

$\frac{- 8 \sin (2 \ln (x))}{x}$

Этап 5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8 \sin (2 \ln (x))}{x}$

Этап 6

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$- \frac{8 \sin (\ln (x^{2}))}{x}$