Математический анализ Примеры

$f (x) = 6 x^{2} \ln (7 x^{3} + 10 x^{2})$

Этап 1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2} \ln (7 x^{3} + 10 x^{2})$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (7 x^{3} + 10 x^{2})]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (7 x^{3} + 10 x^{2})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \ln (7 x^{3} + 10 x^{2})$ .

$6 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (7 x^{3} + 10 x^{2})] + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 7 x^{3} + 10 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $7 x^{3} + 10 x^{2}$ .

$6 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x^{3} + 10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$6 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x^{3} + 10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $7 x^{3} + 10 x^{2}$ .

$6 (x^{2} (\frac{1}{7 x^{3} + 10 x^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{3} + 10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{7 x^{3} + 10 x^{2}}$ и $x^{2}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{3} + 10 x^{2}] + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $7 x^{3} + 10 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x^{2}]$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.3

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{3}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.5

Умножим $3$ на $7$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.6

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x^{2}$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 10 (2 x)) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.8

Умножим $2$ на $10$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 20 x) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 20 x) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) (2 x))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 20 x)) + 6 (\ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) (2 x))$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}}$ и $6$ .

$\frac{x^{2} \cdot 6}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 20 x) + 6 (\ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) (2 x))$

Этап 5.2.2

Перенесем $6$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{6 \cdot x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 20 x) + 6 (\ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) (2 x))$

Этап 5.2.3

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 20 x) + 12 \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) x$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$(21 x^{2} + 20 x) \frac{6 x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} + 12 x \ln (7 x^{3} + 10 x^{2})$