Математический анализ Примеры

$f (x) = 66 x + \ln (3 x^{4} + 13)$

Этап 1

По правилу суммы производная $66 x + \ln (3 x^{4} + 13)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [66 x] + \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{4} + 13)]$ .

$\frac{d}{d x} [66 x] + \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{4} + 13)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [66 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $66$ является константой относительно $x$ , производная $66 x$ по $x$ равна $66 \frac{d}{d x} [x]$ .

$66 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{4} + 13)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$66 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{4} + 13)]$

Этап 2.3

Умножим $66$ на $1$ .

$66 + \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{4} + 13)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (3 x^{4} + 13)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 3 x^{4} + 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{4} + 13$ .

$66 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 13]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$66 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 13]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{4} + 13$ .

$66 + \frac{1}{3 x^{4} + 13} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 13]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $3 x^{4} + 13$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$66 + \frac{1}{3 x^{4} + 13} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [13])$

Этап 3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$66 + \frac{1}{3 x^{4} + 13} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [13])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$66 + \frac{1}{3 x^{4} + 13} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [13])$

Этап 3.5

Поскольку $13$ является константой относительно $x$ , производная $13$ относительно $x$ равна $0$ .

$66 + \frac{1}{3 x^{4} + 13} (3 (4 x^{3}) + 0)$

Этап 3.6

Умножим $4$ на $3$ .

$66 + \frac{1}{3 x^{4} + 13} (12 x^{3} + 0)$

Этап 3.7

Добавим $12 x^{3}$ и $0$ .

$66 + \frac{1}{3 x^{4} + 13} (12 x^{3})$

Этап 3.8

Объединим $12$ и $\frac{1}{3 x^{4} + 13}$ .

$66 + \frac{12}{3 x^{4} + 13} x^{3}$

Этап 3.9

Объединим $\frac{12}{3 x^{4} + 13}$ и $x^{3}$ .

$66 + \frac{12 x^{3}}{3 x^{4} + 13}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $66$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 x^{4} + 13}{3 x^{4} + 13}$ .

$\frac{66 (3 x^{4} + 13)}{3 x^{4} + 13} + \frac{12 x^{3}}{3 x^{4} + 13}$

Этап 4.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{66 (3 x^{4} + 13) + 12 x^{3}}{3 x^{4} + 13}$

Этап 4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{12 x^{3} + 66 (3 x^{4} + 13)}{3 x^{4} + 13}$