Математический анализ Примеры

$f (x) = 6 \sqrt{8 x^{2} + 5 x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{8 x^{2} + 5 x}$ в виде ${(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 {(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [{(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 8 x^{2} + 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 x^{2} + 5 x$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 5 x])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 5 x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 x^{2} + 5 x$ .

$6 (\frac{1}{2} {(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 5 x])$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} {(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 5 x])$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} {(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 5 x])$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 (\frac{1}{2} {(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 5 x])$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$6 (\frac{1}{2} {(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 5 x])$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$6 (\frac{1}{2} {(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 5 x])$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 (\frac{1}{2} {(8 x^{2} + 5 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 5 x])$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(8 x^{2} + 5 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 (\frac{{(8 x^{2} + 5 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 5 x])$

Этап 9

Перенесем ${(8 x^{2} + 5 x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 (\frac{1}{2 {(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 5 x])$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{2 {(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $6$ .

$\frac{6}{2 {(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 5 x]$

Этап 11

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 5 x]$

Этап 12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 5 x]$

Этап 12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 5 x]$

Этап 12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{{(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 5 x]$

Этап 13

По правилу суммы производная $8 x^{2} + 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{3}{{(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 14

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{2}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{{(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{3}{{(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} (8 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 16

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{3}{{(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} (16 x + \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 17

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{{(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} (16 x + 5 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 18

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3}{{(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} (16 x + 5 \cdot 1)$

Этап 19

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{3}{{(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} (16 x + 5)$

Этап 20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Изменим порядок множителей в $\frac{3}{{(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} (16 x + 5)$ .

$(16 x + 5) \frac{3}{{(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.2

Умножим $16 x + 5$ на $\frac{3}{{(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(16 x + 5) \cdot 3}{{(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.3

Перенесем $3$ влево от $16 x + 5$ .

$\frac{3 (16 x + 5)}{{(8 x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}}$