Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 \ln (x)}{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x$ .

$2 \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$2 \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.2.2

Перепишем это выражение.

$2 \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 4.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Этап 4.4.2

Объединим $2$ и $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \ln (x))}{x^{2}}$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 + 2 (- \ln (x))}{x^{2}}$

Этап 5.2.2

Умножим $2 (- \ln (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 - 2 \ln (x)}{x^{2}}$

Этап 5.2.2.2

Упростим $- 2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}}$