Математический анализ Примеры

$f (x) = - \frac{3}{\sin^{2} (7 x)}$

Этап 1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{\sin^{2} (7 x)}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin^{2} (7 x)}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin^{2} (7 x)}]$

Этап 2

Переведем $\frac{1}{\sin^{2} (7 x)}$ в $\csc^{2} (7 x)$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (7 x)]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \csc (7 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\csc (7 x)$ .

$- 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (7 x)])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (7 x)])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\csc (7 x)$ .

$- 3 (2 \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\csc (7 x)])$

Этап 4

Умножим $2$ на $- 3$ .

$- 6 (\csc (7 x) \frac{d}{d x} [\csc (7 x)])$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $7 x$ .

$- 6 \csc (7 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x])$

Этап 5.2

Производная $\csc (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$- 6 \csc (7 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x])$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $7 x$ .

$- 6 \csc (7 x) (- \csc (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Этап 6

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$6 \csc (7 x) (\csc (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Этап 7

Возведем $\csc (7 x)$ в степень $1$ .

$6 (\csc^{1} (7 x) \csc (7 x)) (\cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Этап 8

Возведем $\csc (7 x)$ в степень $1$ .

$6 (\csc^{1} (7 x) \csc^{1} (7 x)) (\cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Этап 9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 {\csc (7 x)}^{1 + 1} (\cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Этап 10

Добавим $1$ и $1$ .

$6 \csc^{2} (7 x) (\cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Этап 11

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \csc^{2} (7 x) \cot (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 12

Умножим $7$ на $6$ .

$42 \csc^{2} (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$42 \csc^{2} (7 x) \cot (7 x) \cdot 1$

Этап 14

Умножим $42$ на $1$ .

$42 \csc^{2} (7 x) \cot (7 x)$