Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 135 x}{270}$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{270}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 135 x}{270}$ по $x$ равна $\frac{1}{270} \frac{d}{d x} [- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 135 x]$ .

$\frac{1}{270} \frac{d}{d x} [- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 135 x]$

Этап 2

По правилу суммы производная $- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 135 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [135 x]$ .

$\frac{1}{270} (\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [135 x])$

Этап 3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{5}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{270} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [135 x])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{1}{270} (- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [135 x])$

Этап 5

Умножим $5$ на $- 3$ .

$\frac{1}{270} (- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [135 x])$

Этап 6

Поскольку $40$ является константой относительно $x$ , производная $40 x^{3}$ по $x$ равна $40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{270} (- 15 x^{4} + 40 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [135 x])$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{270} (- 15 x^{4} + 40 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [135 x])$

Этап 8

Умножим $3$ на $40$ .

$\frac{1}{270} (- 15 x^{4} + 120 x^{2} + \frac{d}{d x} [135 x])$

Этап 9

Поскольку $135$ является константой относительно $x$ , производная $135 x$ по $x$ равна $135 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{270} (- 15 x^{4} + 120 x^{2} + 135 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{270} (- 15 x^{4} + 120 x^{2} + 135 \cdot 1)$

Этап 11

Умножим $135$ на $1$ .

$\frac{1}{270} (- 15 x^{4} + 120 x^{2} + 135)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{270} (- 15 x^{4}) + \frac{1}{270} (120 x^{2}) + \frac{1}{270} \cdot 135$

Этап 12.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Объединим $- 15$ и $\frac{1}{270}$ .

$\frac{- 15}{270} x^{4} + \frac{1}{270} (120 x^{2}) + \frac{1}{270} \cdot 135$

Этап 12.2.2

Объединим $\frac{- 15}{270}$ и $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{270} + \frac{1}{270} (120 x^{2}) + \frac{1}{270} \cdot 135$

Этап 12.2.3

Сократим общий множитель $- 15$ и $270$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Вынесем множитель $15$ из $- 15 x^{4}$ .

$\frac{15 (- x^{4})}{270} + \frac{1}{270} (120 x^{2}) + \frac{1}{270} \cdot 135$

Этап 12.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.2.1

Вынесем множитель $15$ из $270$ .

$\frac{15 (- x^{4})}{15 (18)} + \frac{1}{270} (120 x^{2}) + \frac{1}{270} \cdot 135$

Этап 12.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{15 (- x^{4})}{15 \cdot 18} + \frac{1}{270} (120 x^{2}) + \frac{1}{270} \cdot 135$

Этап 12.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- x^{4}}{18} + \frac{1}{270} (120 x^{2}) + \frac{1}{270} \cdot 135$

Этап 12.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{1}{270} (120 x^{2}) + \frac{1}{270} \cdot 135$

Этап 12.2.5

Объединим $120$ и $\frac{1}{270}$ .

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{120}{270} x^{2} + \frac{1}{270} \cdot 135$

Этап 12.2.6

Объединим $\frac{120}{270}$ и $x^{2}$ .

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{120 x^{2}}{270} + \frac{1}{270} \cdot 135$

Этап 12.2.7

Сократим общий множитель $120$ и $270$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.7.1

Вынесем множитель $30$ из $120 x^{2}$ .

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{30 (4 x^{2})}{270} + \frac{1}{270} \cdot 135$

Этап 12.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.7.2.1

Вынесем множитель $30$ из $270$ .

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{30 (4 x^{2})}{30 (9)} + \frac{1}{270} \cdot 135$

Этап 12.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{30 (4 x^{2})}{30 \cdot 9} + \frac{1}{270} \cdot 135$

Этап 12.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{1}{270} \cdot 135$

Этап 12.2.8

Объединим $\frac{1}{270}$ и $135$ .

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{135}{270}$

Этап 12.2.9

Сократим общий множитель $135$ и $270$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.9.1

Вынесем множитель $135$ из $135$ .

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{135 (1)}{270}$

Этап 12.2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.9.2.1

Вынесем множитель $135$ из $270$ .

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{135 \cdot 1}{135 \cdot 2}$

Этап 12.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{135 \cdot 1}{135 \cdot 2}$

Этап 12.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{1}{2}$