Математический анализ Примеры

$f (x) = 3^{\ln (\cos (x))}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = 3^{x}$ и $g (x) = \ln (\cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\ln (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $3$ .

$3^{u_{1}} \ln (3) \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (\cos (x))$ .

$3^{\ln (\cos (x))} \ln (3) \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cos (x)$ .

$3^{\ln (\cos (x))} \ln (3) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$3^{\ln (\cos (x))} \ln (3) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (x)$ .

$3^{\ln (\cos (x))} \ln (3) (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$3^{\ln (\cos (x))} \ln (3) (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$3^{\ln (\cos (x))} \ln (3) \sec (x) (- \sin (x))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $3^{\ln (\cos (x))} \ln (3) \sec (x) (- \sin (x))$ .

$- 3^{\ln (\cos (x))} \sec (x) \sin (x) \ln (3)$

Этап 5.2

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$- 3^{\ln (\cos (x))} \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \ln (3)$

Этап 5.3

Объединим $\frac{1}{\cos (x)}$ и $3^{\ln (\cos (x))}$ .

$- \frac{3^{\ln (\cos (x))}}{\cos (x)} \sin (x) \ln (3)$

Этап 5.4

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{3^{\ln (\cos (x))}}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin (x) \cdot 3^{\ln (\cos (x))}}{\cos (x)} \ln (3)$

Этап 5.5

Объединим $\ln (3)$ и $\frac{\sin (x) \cdot 3^{\ln (\cos (x))}}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\ln (3) (\sin (x) \cdot 3^{\ln (\cos (x))})}{\cos (x)}$

Этап 5.6

Разделим дроби.

$- (\frac{\ln (3) \cdot 3^{\ln (\cos (x))}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 5.7

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$- (\frac{\ln (3) \cdot 3^{\ln (\cos (x))}}{1} \tan (x))$

Этап 5.8

Разделим $\ln (3) \cdot 3^{\ln (\cos (x))}$ на $1$ .

$- (\ln (3) \cdot 3^{\ln (\cos (x))} \tan (x))$

Этап 5.9

Изменим порядок множителей в $- \ln (3) \cdot 3^{\ln (\cos (x))} \tan (x)$ .

$- 3^{\ln (\cos (x))} \ln (3) \tan (x)$