Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 x + 1}{(3 x - 1) (2 x + 5)} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{3 x - 1}$

Этап 1.1.2

$\frac{A}{3 x - 1} + \frac{B}{2 x + 5}$

Этап 1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(3 x - 1) (2 x + 5)$ .

$\frac{(2 x + 1) (3 x - 1) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Этап 1.1.4

Сократим общий множитель $3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x + 1) (3 x - 1) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Этап 1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(2 x + 1) (2 x + 5)}{2 x + 5} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель $2 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x + 1) (2 x + 5)}{2 x + 5} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Этап 1.1.5.2

Разделим $2 x + 1$ на $1$ .

$2 x + 1 = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Этап 1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель $3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$2 x + 1 = \frac{A (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Этап 1.1.6.1.2

Разделим $(A) (2 x + 5)$ на $1$ .

$2 x + 1 = (A) (2 x + 5) + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Этап 1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 1 = A (2 x) + A \cdot 5 + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Этап 1.1.6.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x + 1 = 2 A x + A \cdot 5 + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Этап 1.1.6.4

Перенесем $5$ влево от $A$ .

$2 x + 1 = 2 A x + 5 \cdot A + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Этап 1.1.6.5

Сократим общий множитель $2 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.5.1

Сократим общий множитель.

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Этап 1.1.6.5.2

Разделим $(B) (3 x - 1)$ на $1$ .

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + (B) (3 x - 1)$

Этап 1.1.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + B (3 x) + B \cdot - 1$

Этап 1.1.6.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + 3 B x + B \cdot - 1$

Этап 1.1.6.8

Перенесем $- 1$ влево от $B$ .

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + 3 B x - 1 \cdot B$

Этап 1.1.6.9

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + 3 B x - B$

Этап 1.1.7

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Перенесем $A$ .

$2 x + 1 = 2 x A + 5 A + 3 B x - B$

Этап 1.1.7.2

Перенесем $B$ .

$2 x + 1 = 2 x A + 5 A + 3 x B - B$

Этап 1.1.7.3

Перенесем $5 A$ .

$2 x + 1 = 2 x A + 3 x B + 5 A - B$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = 2 A + 3 B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = 5 A - 1 B$

Этап 1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$2 = 2 A + 3 B$

$1 = 5 A - 1 B$

$2 = 2 A + 3 B$

$1 = 5 A - 1 B$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно $A$ в $2 = 2 A + 3 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $2 A + 3 B = 2$ .

$2 A + 3 B = 2$

$1 = 5 A - 1 B$

Этап 1.3.1.2

Вычтем $3 B$ из обеих частей уравнения.

$2 A = 2 - 3 B$

$1 = 5 A - 1 B$

Этап 1.3.1.3

Разделим каждый член $2 A = 2 - 3 B$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1

Разделим каждый член $2 A = 2 - 3 B$ на $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Этап 1.3.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 A}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Этап 1.3.1.3.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Этап 1.3.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.3.1.1

Разделим $2$ на $2$ .

$A = 1 + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Этап 1.3.1.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - \frac{3 B}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = 5 A - 1 B$ на $1 - \frac{3 B}{2}$ .

$1 = 5 (1 - \frac{3 B}{2}) - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим $5 (1 - \frac{3 B}{2}) - 1 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = 5 \cdot 1 + 5 (- \frac{3 B}{2}) - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.2.2.1.1.2

Умножим $5$ на $1$ .

$1 = 5 + 5 (- \frac{3 B}{2}) - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.2.2.1.1.3

Умножим $5 (- \frac{3 B}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$1 = 5 - 5 \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.2.2.1.1.3.2

Объединим $- 5$ и $\frac{3 B}{2}$ .

$1 = 5 + \frac{- 5 (3 B)}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.2.2.1.1.3.3

Умножим $3$ на $- 5$ .

$1 = 5 + \frac{- 15 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{- 15 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.2.2.1.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.2.2.1.1.5

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.2.2.1.2

Чтобы записать $- B$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - B \cdot \frac{2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.2.2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.3.1

Объединим $- B$ и $\frac{2}{2}$ .

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} + \frac{- B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.2.2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 = 5 + \frac{- 15 B - B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{- 15 B - B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.2.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.4.1.1

Вынесем множитель $B$ из $- 15 B - B \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.4.1.1.1

Вынесем множитель $B$ из $- 15 B$ .

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 15 - B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.2.2.1.4.1.1.2

Вынесем множитель $B$ из $- B \cdot 2$ .

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 15 + B (- 1 \cdot 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.2.2.1.4.1.1.3

Вынесем множитель $B$ из $B \cdot - 15 + B (- 1 \cdot 2)$ .

$1 = 5 + \frac{B (- 15 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{B (- 15 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.2.2.1.4.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$1 = 5 + \frac{B (- 15 - 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.2.2.1.4.1.3

Вычтем $2$ из $- 15$ .

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 17}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 17}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.2.2.1.4.2

Перенесем $- 17$ влево от $B$ .

$1 = 5 + \frac{- 17 \cdot B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.2.2.1.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.3

Решим относительно $B$ в $1 = 5 - \frac{17 B}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $5 - \frac{17 B}{2} = 1$ .

$5 - \frac{17 B}{2} = 1$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{17 B}{2} = 1 - 5$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.3.2.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$- \frac{17 B}{2} = - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$- \frac{17 B}{2} = - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.3.3

Умножим обе части уравнения на $- \frac{2}{17}$ .

$- \frac{2}{17} \cdot (- \frac{17 B}{2}) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.3.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.4.1.1

Упростим $- \frac{2}{17} (- \frac{17 B}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.4.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.4.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{17}$ в числитель.

$\frac{- 2}{17} \cdot (- \frac{17 B}{2}) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.3.4.1.1.1.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{17 B}{2}$ в числитель.

$\frac{- 2}{17} \cdot \frac{- 17 B}{2} = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.3.4.1.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{17} \cdot \frac{- 17 B}{2} = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.3.4.1.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{17} \cdot \frac{- 17 B}{2} = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.3.4.1.1.1.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{17} \cdot (- 17 B) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$\frac{- 1}{17} \cdot (- 17 B) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.3.4.1.1.2

Сократим общий множитель $17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.4.1.1.2.1

Вынесем множитель $17$ из $- 17 B$ .

$\frac{- 1}{17} \cdot (17 (- B)) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.3.4.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{17} \cdot (17 (- B)) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.3.4.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.3.4.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.4.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.3.4.1.1.3.2

Умножим $B$ на $1$ .

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.4.2.1

Умножим $- \frac{2}{17} \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.4.2.1.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$B = 4 (\frac{2}{17})$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.3.4.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{2}{17}$ .

$B = \frac{4 \cdot 2}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.3.4.2.1.3

Умножим $4$ на $2$ .

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Этап 1.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{8}{17}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 1 - \frac{3 B}{2}$ на $\frac{8}{17}$ .

$A = 1 - \frac{3 (\frac{8}{17})}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

Этап 1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Упростим $1 - \frac{3 (\frac{8}{17})}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1.1

Объединим $3$ и $\frac{8}{17}$ .

$A = 1 - \frac{\frac{3 \cdot 8}{17}}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

Этап 1.3.4.2.1.1.2

Умножим $3$ на $8$ .

$A = 1 - \frac{\frac{24}{17}}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

Этап 1.3.4.2.1.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$A = 1 - (\frac{24}{17} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{8}{17}$

Этап 1.3.4.2.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$A = 1 - (\frac{2 (12)}{17} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{8}{17}$

Этап 1.3.4.2.1.1.4.2

Сократим общий множитель.

$A = 1 - (\frac{2 \cdot 12}{17} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{8}{17}$

Этап 1.3.4.2.1.1.4.3

Перепишем это выражение.

$A = 1 - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

Этап 1.3.4.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$A = \frac{17}{17} - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

Этап 1.3.4.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{17 - 12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

Этап 1.3.4.2.1.2.3

Вычтем $12$ из $17$ .

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

Этап 1.3.5

Перечислим все решения.

$A = \frac{5}{17}, B = \frac{8}{17}$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{3 x - 1} + \frac{B}{2 x + 5}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{5}{17}}{3 x - 1} + \frac{\frac{8}{17}}{2 x + 5}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{5}{17} \cdot \frac{1}{3 x - 1} + \frac{\frac{8}{17}}{2 x + 5}$

Этап 1.5.2

Умножим $\frac{5}{17}$ на $\frac{1}{3 x - 1}$ .

$\frac{5}{17 (3 x - 1)} + \frac{\frac{8}{17}}{2 x + 5}$

Этап 1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{5}{17 (3 x - 1)} + \frac{8}{17} \cdot \frac{1}{2 x + 5}$

Этап 1.5.4

Умножим $\frac{8}{17}$ на $\frac{1}{2 x + 5}$ .

$\int \frac{5}{17 (3 x - 1)} + \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{5}{17 (3 x - 1)} d x + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{5}{17}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{5}{17}$ из-под знака интеграла.

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{3 x - 1} d x + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Этап 4

Пусть $u_{1} = 3 x - 1$ . Тогда $d u_{1} = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{1} = 3 x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 3} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Этап 5.2

Перенесем $3$ влево от $u_{1}$ .

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{3 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{5}{17} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{5}{17}$ .

$\frac{5}{3 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Этап 7.2

Умножим $3$ на $17$ .

$\frac{5}{51} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Этап 9

Поскольку $\frac{8}{17}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{8}{17}$ из-под знака интеграла.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Этап 10

Пусть $u_{2} = 2 x + 5$ . Тогда $d u_{2} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u_{2} = 2 x + 5$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $2 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Этап 10.1.2

По правилу суммы производная $2 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 10.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 10.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 10.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 10.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 10.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 11.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{8}{17}$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{2 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 13.2

Умножим $2$ на $17$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{34} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 13.3

Сократим общий множитель $8$ и $34$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2 (4)}{34} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 13.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $34$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 13.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 13.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 14

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{17} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 15

Упростим.

$\frac{5}{51} \ln (| u_{1} |) + \frac{4}{17} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 16

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x - 1$ .

$\frac{5}{51} \ln (| 3 x - 1 |) + \frac{4}{17} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 16.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x + 5$ .

$\frac{5}{51} \ln (| 3 x - 1 |) + \frac{4}{17} \ln (| 2 x + 5 |) + C$