Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{4 x - 8}{5 x^{4}}$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x - 8}{5 x^{4}}$ по $x$ равна $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{4 x - 8}{x^{4}}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{4 x - 8}{x^{4}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 4 x - 8$ и $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 8] - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 8] - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Этап 3.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 8] - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $4 x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{4} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{4} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 3.5

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{4} (4 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 3.6

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{4} (4 + 0) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{4} \cdot 4 - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 3.7.2

Перенесем $4$ влево от $x^{4}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4 \cdot x^{4} - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4 x^{4} - (4 x - 8) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Этап 3.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4 x^{4} - 4 (4 x - 8) x^{3}}{x^{8}}$

Этап 3.9.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{4 x^{4} - 4 (4 x - 8) x^{3}}{x^{8}}$ .

$\frac{4 x^{4} - 4 (4 x - 8) x^{3}}{5 x^{8}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{4} + (- 4 (4 x) - 4 \cdot - 8) x^{3}}{5 x^{8}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{4} - 4 (4 x) x^{3} - 4 \cdot - 8 x^{3}}{5 x^{8}}$

Этап 4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{4} - 4 (4 (x^{3} x)) - 4 \cdot - 8 x^{3}}{5 x^{8}}$

Этап 4.3.1.1.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 x^{4} - 4 (4 (x^{3} x^{1})) - 4 \cdot - 8 x^{3}}{5 x^{8}}$

Этап 4.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{4} - 4 (4 x^{3 + 1}) - 4 \cdot - 8 x^{3}}{5 x^{8}}$

Этап 4.3.1.1.3

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{4 x^{4} - 4 (4 x^{4}) - 4 \cdot - 8 x^{3}}{5 x^{8}}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$\frac{4 x^{4} - 16 x^{4} - 4 \cdot - 8 x^{3}}{5 x^{8}}$

Этап 4.3.1.3

Умножим $- 4$ на $- 8$ .

$\frac{4 x^{4} - 16 x^{4} + 32 x^{3}}{5 x^{8}}$

Этап 4.3.2

Вычтем $16 x^{4}$ из $4 x^{4}$ .

$\frac{- 12 x^{4} + 32 x^{3}}{5 x^{8}}$

Этап 4.4

Вынесем множитель $4 x^{3}$ из $- 12 x^{4} + 32 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $4 x^{3}$ из $- 12 x^{4}$ .

$\frac{4 x^{3} (- 3 x) + 32 x^{3}}{5 x^{8}}$

Этап 4.4.2

Вынесем множитель $4 x^{3}$ из $32 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} (- 3 x) + 4 x^{3} (8)}{5 x^{8}}$

Этап 4.4.3

Вынесем множитель $4 x^{3}$ из $4 x^{3} (- 3 x) + 4 x^{3} (8)$ .

$\frac{4 x^{3} (- 3 x + 8)}{5 x^{8}}$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $4 x^{3} (- 3 x + 8)$ .

$\frac{x^{3} (4 (- 3 x + 8))}{5 x^{8}}$

Этап 4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $5 x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (4 (- 3 x + 8))}{x^{3} (5 x^{5})}$

Этап 4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} (4 (- 3 x + 8))}{x^{3} (5 x^{5})}$

Этап 4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (- 3 x + 8)}{5 x^{5}}$

Этап 4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$\frac{4 (- (3 x) + 8)}{5 x^{5}}$

Этап 4.7

Перепишем $8$ в виде $- 1 (- 8)$ .

$\frac{4 (- (3 x) - 1 (- 8))}{5 x^{5}}$

Этап 4.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{4 (- (3 x - 8))}{5 x^{5}}$

Этап 4.9

Перепишем $- (3 x - 8)$ в виде $- 1 (3 x - 8)$ .

$\frac{4 (- 1 (3 x - 8))}{5 x^{5}}$

Этап 4.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 (3 x - 8)}{5 x^{5}}$