Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{4}{\sqrt[3]{3 t^{2} + t}}$

Этап 1

Вынесем множитель $t$ из $3 t^{2} + t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $t$ из $3 t^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{t (3 t) + t}}]$

Этап 1.2

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{t (3 t) + t^{1}}}]$

Этап 1.3

Вынесем множитель $t$ из $t^{1}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{t (3 t) + t \cdot 1}}]$

Этап 1.4

Вынесем множитель $t$ из $t (3 t) + t \cdot 1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}]$

Этап 2

Умножим $\frac{4}{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}]$

Этап 3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{4}{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{\sqrt[3]{t (3 t + 1)} {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}]$

Этап 3.2

Возведем $\sqrt[3]{t (3 t + 1)}$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{1} {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}]$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{1 + 2}}]$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{3}}]$

Этап 3.5

Перепишем ${\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{3}$ в виде $t (3 t + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{t (3 t + 1)}$ в виде ${(t (3 t + 1))}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{({(t (3 t + 1))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}]$

Этап 3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{(t (3 t + 1))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}]$

Этап 3.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{(t (3 t + 1))}^{\frac{3}{3}}}]$

Этап 3.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{(t (3 t + 1))}^{\frac{3}{3}}}]$

Этап 3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{(t (3 t + 1))}^{1}}]$

Этап 3.5.5

Упростим.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{t (3 t + 1)}]$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{(t (3 t + 1))}^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \sqrt[3]{{(t (3 t + 1))}^{2}}}{t (3 t + 1)}]$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $t (3 t + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \sqrt[3]{t^{2} {(3 t + 1)}^{2}}}{t (3 t + 1)}]$

Этап 5

Поскольку $\frac{4 \sqrt[3]{t^{2} {(3 t + 1)}^{2}}}{t (3 t + 1)}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 \sqrt[3]{t^{2} {(3 t + 1)}^{2}}}{t (3 t + 1)}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$