Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Запишем в виде функции.
Этап 2
Этап 2.1
Найдем первую производную.
Этап 2.1.1
Продифференцируем.
Этап 2.1.1.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.1.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.2
Найдем значение .
Этап 2.1.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.2.3
Умножим на .
Этап 2.1.3
Найдем значение .
Этап 2.1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.1.3.2
Производная по равна .
Этап 2.1.4
Изменим порядок членов.
Этап 2.2
Первая производная по равна .
Этап 3
Этап 3.1
Пусть первая производная равна .
Этап 3.2
Найдем НОК знаменателей членов уравнения.
Этап 3.2.1
Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.
Этап 3.2.2
НОК единицы и любого выражения есть это выражение.
Этап 3.3
Каждый член в умножим на , чтобы убрать дроби.
Этап 3.3.1
Умножим каждый член на .
Этап 3.3.2
Упростим левую часть.
Этап 3.3.2.1
Упростим каждый член.
Этап 3.3.2.1.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 3.3.2.1.1.1
Перенесем .
Этап 3.3.2.1.1.2
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.2
Сократим общий множитель .
Этап 3.3.2.1.2.1
Перенесем стоящий впереди знак минуса в в числитель.
Этап 3.3.2.1.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.3.2.1.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.3.3
Упростим правую часть.
Этап 3.3.3.1
Умножим на .
Этап 3.4
Решим уравнение.
Этап 3.4.1
Разложим на множители методом группировки
Этап 3.4.1.1
Изменим порядок членов.
Этап 3.4.1.2
Для многочлена вида представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно , а сумма — .
Этап 3.4.1.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.4.1.2.2
Запишем как плюс
Этап 3.4.1.2.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.4.1.2.4
Умножим на .
Этап 3.4.1.3
Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.
Этап 3.4.1.3.1
Сгруппируем первые два члена и последние два члена.
Этап 3.4.1.3.2
Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.
Этап 3.4.1.4
Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель .
Этап 3.4.2
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 3.4.3
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 3.4.3.1
Приравняем к .
Этап 3.4.3.2
Решим относительно .
Этап 3.4.3.2.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 3.4.3.2.2
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 3.4.3.2.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 3.4.3.2.2.2
Упростим левую часть.
Этап 3.4.3.2.2.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 3.4.3.2.2.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.4.3.2.2.2.1.2
Разделим на .
Этап 3.4.3.2.2.3
Упростим правую часть.
Этап 3.4.3.2.2.3.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 3.4.4
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 3.4.4.1
Приравняем к .
Этап 3.4.4.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 3.4.5
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 4
Значения, при которых производная равна : .
Этап 5
Зададим знаменатель в равным , чтобы узнать, где данное выражение не определено.
Этап 6
Разобьем на отдельные интервалы вокруг значений , при которых производная равна или не определена.
Этап 7
Исключим интервалы, не входящие в область определения.
Этап 8
Этап 8.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 8.2
Упростим результат.
Этап 8.2.1
Упростим каждый член.
Этап 8.2.1.1
Умножим на .
Этап 8.2.1.2
Разделим на .
Этап 8.2.1.3
Умножим на .
Этап 8.2.2
Упростим путем сложения и вычитания.
Этап 8.2.2.1
Добавим и .
Этап 8.2.2.2
Вычтем из .
Этап 8.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 9
Исключим интервалы, не входящие в область определения.
Этап 10
Этап 10.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 10.2
Упростим результат.
Этап 10.2.1
Упростим каждый член.
Этап 10.2.1.1
Сократим общий множитель .
Этап 10.2.1.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 10.2.1.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 10.2.1.2
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 10.2.1.3
Умножим .
Этап 10.2.1.3.1
Умножим на .
Этап 10.2.1.3.2
Умножим на .
Этап 10.2.2
Упростим путем вычитания чисел.
Этап 10.2.2.1
Вычтем из .
Этап 10.2.2.2
Вычтем из .
Этап 10.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 10.3
При производная имеет вид . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне .
Убывание на , так как
Убывание на , так как
Этап 11
Исключим интервалы, не входящие в область определения.
Этап 12
Этап 12.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 12.2
Упростим результат.
Этап 12.2.1
Умножим на .
Этап 12.2.2
Найдем общий знаменатель.
Этап 12.2.2.1
Запишем в виде дроби со знаменателем .
Этап 12.2.2.2
Умножим на .
Этап 12.2.2.3
Умножим на .
Этап 12.2.2.4
Запишем в виде дроби со знаменателем .
Этап 12.2.2.5
Умножим на .
Этап 12.2.2.6
Умножим на .
Этап 12.2.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 12.2.4
Упростим каждый член.
Этап 12.2.4.1
Умножим на .
Этап 12.2.4.2
Умножим на .
Этап 12.2.5
Упростим путем вычитания чисел.
Этап 12.2.5.1
Вычтем из .
Этап 12.2.5.2
Вычтем из .
Этап 12.2.6
Окончательный ответ: .
Этап 12.3
При производная имеет вид . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне .
Возрастание в области , так как
Возрастание в области , так как
Этап 13
Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.
Возрастание в области:
Убывание на:
Этап 14