Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{\cot (x)}{e^{x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- e^{x} \csc^{2} (x) - \cot (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 5.1.2

Изменим порядок множителей в $- e^{x} \csc^{2} (x) - \cot (x) e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} \csc^{2} (x) - e^{x} \cot (x)}{e^{2 x}}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{x} \csc^{2} (x) - e^{x} \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{x} \csc^{2} (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x)) - e^{x} \cot (x)}{e^{2 x}}$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{x} \cot (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x)) + e^{x} (- \cot (x))}{e^{2 x}}$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (- \csc^{2} (x)) + e^{x} (- \cot (x))$ .

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))}{e^{2 x}}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $e^{x}$ и $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $e^{x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x)))}{e^{2 x}}$

Этап 5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Этап 5.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))}{1}$

Этап 5.3.2.4

Разделим $e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))$ на $1$ .

$e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- x} (- \csc^{2} (x)) + e^{- x} (- \cot (x))$

Этап 5.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- e^{- x} \csc^{2} (x) + e^{- x} (- \cot (x))$

Этап 5.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- e^{- x} \csc^{2} (x) - e^{- x} \cot (x)$