Математический анализ Примеры

$f (x) = \cos^{3} (\frac{x}{x + 1})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \cos (\frac{x}{x + 1})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (\frac{x}{x + 1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{x + 1})]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{x + 1})]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (\frac{x}{x + 1})$ .

$3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{x + 1})]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\frac{x}{x + 1}$ .

$3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}])$

Этап 2.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\frac{x}{x + 1}$ .

$3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) (- \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}])$

Этап 3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) (\sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x + 1$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 5.2

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 5.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 5.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 5.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 5.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 5.6.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 5.6.4

Добавим $0$ и $1$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 5.6.5

Объединим $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ и $- 3$ .

$\frac{- 3}{{(x + 1)}^{2}} \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1})$

Этап 5.6.6

Объединим $\frac{- 3}{{(x + 1)}^{2}}$ и $\cos^{2} (\frac{x}{x + 1})$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}} \sin (\frac{x}{x + 1})$

Этап 5.6.7

Объединим $\frac{- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$ и $\sin (\frac{x}{x + 1})$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 5.6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$