Математический анализ Примеры

$f (x) = \cot^{3} (\sqrt{x})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\cot^{3} (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \cot (x^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cot (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cot (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cot (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cot (x^{\frac{1}{2}})$ .

$3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\cot (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.2

Производная $\cot (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 11

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $- 3$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3}{2} \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})$

Этап 12

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3}{2}$ и $\cot^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2} \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})$

Этап 13

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$ и $\csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Этап 14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Перенесем $- 3$ влево от $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 3 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Этап 14.2

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$