Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{8 (x - t)}{x^{2}}$

Этап 1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{8 (x - t)}{x^{2}}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\frac{x - t}{x^{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x - t}{x^{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - t$ и $g (x) = x^{2}$ .

$8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - t] - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - t] - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - t] - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x - t$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- t]$ .

$8 \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- t]) - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 \frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- t]) - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.4

Поскольку $- t$ является константой относительно $x$ , производная $- t$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 \frac{x^{2} (1 + 0) - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$8 \frac{x^{2} \cdot 1 - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.5.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$8 \frac{x^{2} - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 \frac{x^{2} - (x - t) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 3.7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$8 \frac{x^{2} - 2 (x - t) x}{x^{4}}$

Этап 3.7.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 2 (x - t) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$8 \frac{x \cdot x - 2 (x - t) x}{x^{4}}$

Этап 3.7.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 (x - t) x$ .

$8 \frac{x \cdot x + x (- 2 (x - t))}{x^{4}}$

Этап 3.7.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (- 2 (x - t))$ .

$8 \frac{x (x - 2 (x - t))}{x^{4}}$

Этап 4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$8 \frac{x (x - 2 (x - t))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель.

$8 \frac{x (x - 2 (x - t))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 4.3

Перепишем это выражение.

$8 \frac{x - 2 (x - t)}{x^{3}}$

Этап 5

Объединим $8$ и $\frac{x - 2 (x - t)}{x^{3}}$ .

$\frac{8 (x - 2 (x - t))}{x^{3}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 (x - 2 x - 2 (- t))}{x^{3}}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 x + 8 (- 2 x) + 8 (- 2 (- t))}{x^{3}}$

Этап 6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Умножим $- 2$ на $8$ .

$\frac{8 x - 16 x + 8 (- 2 (- t))}{x^{3}}$

Этап 6.3.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{8 x - 16 x + 8 (2 t)}{x^{3}}$

Этап 6.3.1.3

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{8 x - 16 x + 16 t}{x^{3}}$

Этап 6.3.2

Вычтем $16 x$ из $8 x$ .

$\frac{- 8 x + 16 t}{x^{3}}$

Этап 6.4

Изменим порядок членов.

$\frac{16 t - 8 x}{x^{3}}$

Этап 6.5

Вынесем множитель $8$ из $16 t - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $8$ из $16 t$ .

$\frac{8 (2 t) - 8 x}{x^{3}}$

Этап 6.5.2

Вынесем множитель $8$ из $- 8 x$ .

$\frac{8 (2 t) + 8 (- x)}{x^{3}}$

Этап 6.5.3

Вынесем множитель $8$ из $8 (2 t) + 8 (- x)$ .

$\frac{8 (2 t - x)}{x^{3}}$