Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 1.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 1.1.2
Найдем предел числителя.
Этап 1.1.2.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 1.1.2.2
Внесем предел под знак радикала.
Этап 1.1.2.3
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 1.1.2.4
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 1.1.2.5
Внесем предел под знак радикала.
Этап 1.1.2.6
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 1.1.2.7
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 1.1.2.8
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 1.1.2.9
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Этап 1.1.2.9.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 1.1.2.9.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 1.1.2.10
Упростим ответ.
Этап 1.1.2.10.1
Упростим каждый член.
Этап 1.1.2.10.1.1
Добавим и .
Этап 1.1.2.10.1.2
Любой корень из равен .
Этап 1.1.2.10.1.3
Умножим на .
Этап 1.1.2.10.1.4
Добавим и .
Этап 1.1.2.10.1.5
Любой корень из равен .
Этап 1.1.2.10.1.6
Умножим на .
Этап 1.1.2.10.2
Вычтем из .
Этап 1.1.3
Найдем предел знаменателя.
Этап 1.1.3.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 1.1.3.2
Внесем предел под знак радикала.
Этап 1.1.3.3
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 1.1.3.4
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 1.1.3.5
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 1.1.3.6
Внесем предел под знак радикала.
Этап 1.1.3.7
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 1.1.3.8
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 1.1.3.9
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 1.1.3.10
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Этап 1.1.3.10.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 1.1.3.10.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 1.1.3.11
Упростим ответ.
Этап 1.1.3.11.1
Упростим каждый член.
Этап 1.1.3.11.1.1
Умножим на .
Этап 1.1.3.11.1.2
Добавим и .
Этап 1.1.3.11.1.3
Перепишем в виде .
Этап 1.1.3.11.1.4
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 1.1.3.11.1.5
Умножим на .
Этап 1.1.3.11.1.6
Добавим и .
Этап 1.1.3.11.1.7
Перепишем в виде .
Этап 1.1.3.11.1.8
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 1.1.3.11.1.9
Умножим на .
Этап 1.1.3.11.2
Вычтем из .
Этап 1.1.3.11.3
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 1.1.3.12
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 1.1.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 1.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 1.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Этап 1.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 1.3.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.3.3
Найдем значение .
Этап 1.3.3.1
С помощью запишем в виде .
Этап 1.3.3.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.3.3.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.3.3.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.3.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.3.3.3
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.3.3.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.3.5
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.3.3.6
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.3.3.7
Объединим и .
Этап 1.3.3.8
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.3.3.9
Упростим числитель.
Этап 1.3.3.9.1
Умножим на .
Этап 1.3.3.9.2
Вычтем из .
Этап 1.3.3.10
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.3.3.11
Добавим и .
Этап 1.3.3.12
Объединим и .
Этап 1.3.3.13
Умножим на .
Этап 1.3.3.14
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.3.4
Найдем значение .
Этап 1.3.4.1
С помощью запишем в виде .
Этап 1.3.4.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.3.4.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.3.4.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.3.4.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.4.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.3.4.4
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.3.4.5
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.3.4.6
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.4.7
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.3.4.8
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.3.4.9
Объединим и .
Этап 1.3.4.10
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.3.4.11
Упростим числитель.
Этап 1.3.4.11.1
Умножим на .
Этап 1.3.4.11.2
Вычтем из .
Этап 1.3.4.12
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.3.4.13
Умножим на .
Этап 1.3.4.14
Добавим и .
Этап 1.3.4.15
Объединим и .
Этап 1.3.4.16
Объединим и .
Этап 1.3.4.17
Перенесем влево от .
Этап 1.3.4.18
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.3.4.19
Сократим общий множитель.
Этап 1.3.4.20
Перепишем это выражение.
Этап 1.3.5
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.3.6
Найдем значение .
Этап 1.3.6.1
С помощью запишем в виде .
Этап 1.3.6.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.3.6.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.3.6.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.6.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.3.6.3
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.3.6.4
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.3.6.5
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.6.6
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.3.6.7
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.3.6.8
Объединим и .
Этап 1.3.6.9
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.3.6.10
Упростим числитель.
Этап 1.3.6.10.1
Умножим на .
Этап 1.3.6.10.2
Вычтем из .
Этап 1.3.6.11
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.3.6.12
Умножим на .
Этап 1.3.6.13
Добавим и .
Этап 1.3.6.14
Объединим и .
Этап 1.3.6.15
Объединим и .
Этап 1.3.6.16
Перенесем влево от .
Этап 1.3.6.17
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.3.7
Найдем значение .
Этап 1.3.7.1
С помощью запишем в виде .
Этап 1.3.7.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.3.7.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.3.7.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.3.7.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.7.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.3.7.4
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.3.7.5
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.3.7.6
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.7.7
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.3.7.8
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.3.7.9
Объединим и .
Этап 1.3.7.10
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.3.7.11
Упростим числитель.
Этап 1.3.7.11.1
Умножим на .
Этап 1.3.7.11.2
Вычтем из .
Этап 1.3.7.12
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.3.7.13
Умножим на .
Этап 1.3.7.14
Добавим и .
Этап 1.3.7.15
Объединим и .
Этап 1.3.7.16
Объединим и .
Этап 1.3.7.17
Перенесем влево от .
Этап 1.3.7.18
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.3.7.19
Сократим общий множитель.
Этап 1.3.7.20
Перепишем это выражение.
Этап 1.4
Переведем дробные показатели степени в форму с радикалами.
Этап 1.4.1
Перепишем в виде .
Этап 1.4.2
Перепишем в виде .
Этап 1.4.3
Перепишем в виде .
Этап 1.4.4
Перепишем в виде .
Этап 1.5
Объединим термины.
Этап 1.5.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.5.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.5.3
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Этап 1.5.3.1
Умножим на .
Этап 1.5.3.2
Объединим, используя правило умножения для радикалов.
Этап 1.5.3.3
Умножим на .
Этап 1.5.3.4
Объединим, используя правило умножения для радикалов.
Этап 1.5.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.5.5
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.5.6
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.5.7
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Этап 1.5.7.1
Умножим на .
Этап 1.5.7.2
Объединим, используя правило умножения для радикалов.
Этап 1.5.7.3
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.7.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.7.3.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.7.3.3
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.7.4
Умножим на .
Этап 1.5.7.5
Объединим, используя правило умножения для радикалов.
Этап 1.5.7.6
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.7.6.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.7.6.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.7.6.3
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.8
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2
Этап 2.1
Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении к .
Этап 2.2
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.3
Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении к .
Этап 2.4
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.5
Внесем предел под знак радикала.
Этап 2.6
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.7
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.8
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 2.9
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.10
Внесем предел под знак радикала.
Этап 2.11
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.12
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 2.13
Внесем предел под знак радикала.
Этап 2.14
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 2.15
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.16
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.17
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 2.18
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.19
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 2.20
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.21
Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении к .
Этап 2.22
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.23
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.24
Внесем предел под знак радикала.
Этап 2.25
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.26
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.27
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 2.28
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.29
Внесем предел под знак радикала.
Этап 2.30
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.31
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.32
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 2.33
Внесем предел под знак радикала.
Этап 2.34
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.35
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 2.36
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.37
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 2.38
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.39
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.40
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 3
Этап 3.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 3.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 3.3
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 3.4
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 3.5
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 3.6
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 3.7
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 3.8
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 4
Этап 4.1
Сократим общий множитель .
Этап 4.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.2
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 4.3
Упростим числитель.
Этап 4.3.1
Умножим на .
Этап 4.3.2
Добавим и .
Этап 4.3.3
Любой корень из равен .
Этап 4.3.4
Добавим и .
Этап 4.3.5
Любой корень из равен .
Этап 4.3.6
Умножим на .
Этап 4.3.7
Вычтем из .
Этап 4.4
Упростим знаменатель.
Этап 4.4.1
Умножим на .
Этап 4.4.2
Добавим и .
Этап 4.4.3
Умножим на .
Этап 4.4.4
Добавим и .
Этап 4.4.5
Любой корень из равен .
Этап 4.5
Разделим на .
Этап 4.6
Упростим числитель.
Этап 4.6.1
Умножим на .
Этап 4.6.2
Добавим и .
Этап 4.6.3
Умножим на .
Этап 4.6.4
Добавим и .
Этап 4.6.5
Умножим на .
Этап 4.6.6
Перепишем в виде .
Этап 4.6.7
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 4.7
Упростим знаменатель.
Этап 4.7.1
Умножим на .
Этап 4.7.2
Добавим и .
Этап 4.7.3
Перепишем в виде .
Этап 4.7.4
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 4.7.5
Умножим на .
Этап 4.7.6
Умножим на .
Этап 4.7.7
Добавим и .
Этап 4.7.8
Перепишем в виде .
Этап 4.7.9
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 4.7.10
Умножим на .
Этап 4.7.11
Вычтем из .
Этап 4.8
Разделим на .
Этап 4.9
Умножим на .