Математический анализ Примеры

Оценить предел предел ( квадратный корень из x+1- квадратный корень из 2x+1)/( квадратный корень из 3x+4- квадратный корень из 2x+4), когда x стремится к 0
Этап 1
Применим правило Лопиталя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 1.1.2
Найдем предел числителя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.2.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 1.1.2.2
Внесем предел под знак радикала.
Этап 1.1.2.3
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 1.1.2.4
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 1.1.2.5
Внесем предел под знак радикала.
Этап 1.1.2.6
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 1.1.2.7
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 1.1.2.8
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 1.1.2.9
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.2.9.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 1.1.2.9.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 1.1.2.10
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.2.10.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.2.10.1.1
Добавим и .
Этап 1.1.2.10.1.2
Любой корень из равен .
Этап 1.1.2.10.1.3
Умножим на .
Этап 1.1.2.10.1.4
Добавим и .
Этап 1.1.2.10.1.5
Любой корень из равен .
Этап 1.1.2.10.1.6
Умножим на .
Этап 1.1.2.10.2
Вычтем из .
Этап 1.1.3
Найдем предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.3.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 1.1.3.2
Внесем предел под знак радикала.
Этап 1.1.3.3
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 1.1.3.4
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 1.1.3.5
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 1.1.3.6
Внесем предел под знак радикала.
Этап 1.1.3.7
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 1.1.3.8
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 1.1.3.9
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 1.1.3.10
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.3.10.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 1.1.3.10.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 1.1.3.11
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.3.11.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.3.11.1.1
Умножим на .
Этап 1.1.3.11.1.2
Добавим и .
Этап 1.1.3.11.1.3
Перепишем в виде .
Этап 1.1.3.11.1.4
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 1.1.3.11.1.5
Умножим на .
Этап 1.1.3.11.1.6
Добавим и .
Этап 1.1.3.11.1.7
Перепишем в виде .
Этап 1.1.3.11.1.8
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 1.1.3.11.1.9
Умножим на .
Этап 1.1.3.11.2
Вычтем из .
Этап 1.1.3.11.3
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 1.1.3.12
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 1.1.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 1.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 1.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 1.3.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.3.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.1
С помощью запишем в виде .
Этап 1.3.3.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.3.3.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.3.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.3.3.3
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.3.3.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.3.5
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.3.3.6
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.3.3.7
Объединим и .
Этап 1.3.3.8
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.3.3.9
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.9.1
Умножим на .
Этап 1.3.3.9.2
Вычтем из .
Этап 1.3.3.10
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.3.3.11
Добавим и .
Этап 1.3.3.12
Объединим и .
Этап 1.3.3.13
Умножим на .
Этап 1.3.3.14
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.3.4
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.4.1
С помощью запишем в виде .
Этап 1.3.4.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.3.4.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.4.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.3.4.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.4.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.3.4.4
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.3.4.5
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.3.4.6
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.4.7
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.3.4.8
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.3.4.9
Объединим и .
Этап 1.3.4.10
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.3.4.11
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.4.11.1
Умножим на .
Этап 1.3.4.11.2
Вычтем из .
Этап 1.3.4.12
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.3.4.13
Умножим на .
Этап 1.3.4.14
Добавим и .
Этап 1.3.4.15
Объединим и .
Этап 1.3.4.16
Объединим и .
Этап 1.3.4.17
Перенесем влево от .
Этап 1.3.4.18
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.3.4.19
Сократим общий множитель.
Этап 1.3.4.20
Перепишем это выражение.
Этап 1.3.5
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.3.6
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.6.1
С помощью запишем в виде .
Этап 1.3.6.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.6.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.3.6.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.6.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.3.6.3
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.3.6.4
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.3.6.5
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.6.6
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.3.6.7
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.3.6.8
Объединим и .
Этап 1.3.6.9
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.3.6.10
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.6.10.1
Умножим на .
Этап 1.3.6.10.2
Вычтем из .
Этап 1.3.6.11
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.3.6.12
Умножим на .
Этап 1.3.6.13
Добавим и .
Этап 1.3.6.14
Объединим и .
Этап 1.3.6.15
Объединим и .
Этап 1.3.6.16
Перенесем влево от .
Этап 1.3.6.17
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.3.7
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.7.1
С помощью запишем в виде .
Этап 1.3.7.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.3.7.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.7.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.3.7.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.7.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.3.7.4
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.3.7.5
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.3.7.6
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.7.7
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.3.7.8
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.3.7.9
Объединим и .
Этап 1.3.7.10
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.3.7.11
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.7.11.1
Умножим на .
Этап 1.3.7.11.2
Вычтем из .
Этап 1.3.7.12
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.3.7.13
Умножим на .
Этап 1.3.7.14
Добавим и .
Этап 1.3.7.15
Объединим и .
Этап 1.3.7.16
Объединим и .
Этап 1.3.7.17
Перенесем влево от .
Этап 1.3.7.18
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.3.7.19
Сократим общий множитель.
Этап 1.3.7.20
Перепишем это выражение.
Этап 1.4
Переведем дробные показатели степени в форму с радикалами.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1
Перепишем в виде .
Этап 1.4.2
Перепишем в виде .
Этап 1.4.3
Перепишем в виде .
Этап 1.4.4
Перепишем в виде .
Этап 1.5
Объединим термины.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.5.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.5.3
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.3.1
Умножим на .
Этап 1.5.3.2
Объединим, используя правило умножения для радикалов.
Этап 1.5.3.3
Умножим на .
Этап 1.5.3.4
Объединим, используя правило умножения для радикалов.
Этап 1.5.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.5.5
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.5.6
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.5.7
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.7.1
Умножим на .
Этап 1.5.7.2
Объединим, используя правило умножения для радикалов.
Этап 1.5.7.3
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.7.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.7.3.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.7.3.3
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.7.4
Умножим на .
Этап 1.5.7.5
Объединим, используя правило умножения для радикалов.
Этап 1.5.7.6
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.7.6.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.7.6.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.7.6.3
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.8
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении к .
Этап 2.2
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.3
Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении к .
Этап 2.4
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.5
Внесем предел под знак радикала.
Этап 2.6
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.7
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.8
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 2.9
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.10
Внесем предел под знак радикала.
Этап 2.11
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.12
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 2.13
Внесем предел под знак радикала.
Этап 2.14
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 2.15
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.16
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.17
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 2.18
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.19
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 2.20
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.21
Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении к .
Этап 2.22
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.23
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.24
Внесем предел под знак радикала.
Этап 2.25
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.26
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.27
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 2.28
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.29
Внесем предел под знак радикала.
Этап 2.30
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.31
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.32
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 2.33
Внесем предел под знак радикала.
Этап 2.34
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.35
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 2.36
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.37
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 2.38
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.39
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.40
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 3
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 3.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 3.3
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 3.4
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 3.5
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 3.6
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 3.7
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 3.8
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 4
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.2
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 4.3
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1
Умножим на .
Этап 4.3.2
Добавим и .
Этап 4.3.3
Любой корень из равен .
Этап 4.3.4
Добавим и .
Этап 4.3.5
Любой корень из равен .
Этап 4.3.6
Умножим на .
Этап 4.3.7
Вычтем из .
Этап 4.4
Упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.4.1
Умножим на .
Этап 4.4.2
Добавим и .
Этап 4.4.3
Умножим на .
Этап 4.4.4
Добавим и .
Этап 4.4.5
Любой корень из равен .
Этап 4.5
Разделим на .
Этап 4.6
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.6.1
Умножим на .
Этап 4.6.2
Добавим и .
Этап 4.6.3
Умножим на .
Этап 4.6.4
Добавим и .
Этап 4.6.5
Умножим на .
Этап 4.6.6
Перепишем в виде .
Этап 4.6.7
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 4.7
Упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.7.1
Умножим на .
Этап 4.7.2
Добавим и .
Этап 4.7.3
Перепишем в виде .
Этап 4.7.4
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 4.7.5
Умножим на .
Этап 4.7.6
Умножим на .
Этап 4.7.7
Добавим и .
Этап 4.7.8
Перепишем в виде .
Этап 4.7.9
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 4.7.10
Умножим на .
Этап 4.7.11
Вычтем из .
Этап 4.8
Разделим на .
Этап 4.9
Умножим на .