Математический анализ Примеры

$f (x) = \sec^{4} (x^{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = \sec (x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x^{2})]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x^{2})]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (x^{2})$ .

$4 \sec^{3} (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x^{2})]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2}$ .

$4 \sec^{3} (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$4 \sec^{3} (x^{2}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2}$ .

$4 \sec^{3} (x^{2}) (\sec (x^{2}) \tan (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3

Возведем $\sec (x^{2})$ в степень $1$ .

$4 (\sec^{1} (x^{2}) \sec^{3} (x^{2})) (\tan (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 {\sec (x^{2})}^{1 + 3} (\tan (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 5

Добавим $1$ и $3$ .

$4 \sec^{4} (x^{2}) (\tan (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 \sec^{4} (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x)$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $2$ на $4$ .

$8 \sec^{4} (x^{2}) \tan (x^{2}) x$

Этап 7.2

Изменим порядок множителей в $8 \sec^{4} (x^{2}) \tan (x^{2}) x$ .

$8 x \sec^{4} (x^{2}) \tan (x^{2})$