Математический анализ Примеры

$y = \ln (\ln (\ln (x)))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \ln (\ln (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\ln (\ln (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (\ln (x))$ .

$\frac{1}{\ln (\ln (x))} \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\ln (x)$ .

$\frac{1}{\ln (\ln (x))} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 2.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (\ln (x))} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\ln (x)$ .

$\frac{1}{\ln (\ln (x))} (\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 3

Умножим $\frac{1}{\ln (x)}$ на $\frac{1}{\ln (\ln (x))}$ .

$\frac{1}{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{\ln (x) \ln (\ln (x))} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{\ln (x) \ln (\ln (x))}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{\ln (x) \ln (\ln (x)) x}$

Этап 5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{x \ln (\ln (x)) \ln (x)}$