Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 1}^{4} (125) {(\frac{1}{5})}^{n - 1}$

Этап 1

Развернем ряд для каждого значения $n$ .

$125 {(\frac{1}{5})}^{1 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{2 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$125 {(\frac{1}{5})}^{0} + 125 {(\frac{1}{5})}^{2 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$125 \frac{1^{0}}{5^{0}} + 125 {(\frac{1}{5})}^{2 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$125 \frac{1}{5^{0}} + 125 {(\frac{1}{5})}^{2 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$125 (\frac{1}{1}) + 125 {(\frac{1}{5})}^{2 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.5

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$125 (\frac{1}{1}) + 125 {(\frac{1}{5})}^{2 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$125 \cdot 1 + 125 {(\frac{1}{5})}^{2 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.6

Умножим $125$ на $1$ .

$125 + 125 {(\frac{1}{5})}^{2 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.7

Вычтем $1$ из $2$ .

$125 + 125 {(\frac{1}{5})}^{1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.8

Упростим.

$125 + 125 (\frac{1}{5}) + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.9

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Вынесем множитель $5$ из $125$ .

$125 + 5 (25) \frac{1}{5} + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.9.2

Сократим общий множитель.

$125 + 5 \cdot 25 \frac{1}{5} + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.9.3

Перепишем это выражение.

$125 + 25 + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.10

Вычтем $1$ из $3$ .

$125 + 25 + 125 {(\frac{1}{5})}^{2} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.11

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$125 + 25 + 125 \frac{1^{2}}{5^{2}} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.12

Единица в любой степени равна единице.

$125 + 25 + 125 \frac{1}{5^{2}} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.13

Возведем $5$ в степень $2$ .

$125 + 25 + 125 (\frac{1}{25}) + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.14

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1

Вынесем множитель $25$ из $125$ .

$125 + 25 + 25 (5) \frac{1}{25} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.14.2

Сократим общий множитель.

$125 + 25 + 25 \cdot 5 \frac{1}{25} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.14.3

Перепишем это выражение.

$125 + 25 + 5 + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.15

Вычтем $1$ из $4$ .

$125 + 25 + 5 + 125 {(\frac{1}{5})}^{3}$

Этап 2.1.16

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$125 + 25 + 5 + 125 \frac{1^{3}}{5^{3}}$

Этап 2.1.17

Единица в любой степени равна единице.

$125 + 25 + 5 + 125 \frac{1}{5^{3}}$

Этап 2.1.18

Возведем $5$ в степень $3$ .

$125 + 25 + 5 + 125 (\frac{1}{125})$

Этап 2.1.19

Сократим общий множитель $125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.19.1

Сократим общий множитель.

$125 + 25 + 5 + 125 (\frac{1}{125})$

Этап 2.1.19.2

Перепишем это выражение.

$125 + 25 + 5 + 1$

Этап 2.2

Добавим $125$ и $25$ .

$150 + 5 + 1$

Этап 2.3

Добавим $150$ и $5$ .

$155 + 1$

Этап 2.4

Добавим $155$ и $1$ .

$156$