Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{18} \sqrt{2 x} d x$

Этап 1

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 18$

Этап 1.5

Умножим $2$ на $18$ .

$u_{upper} = 36$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 36$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{36} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{36} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{36} \sqrt{u} d u$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{36} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{36}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $36$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 36^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(6^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 6^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 6^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 6^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.4

Возведем $6$ в степень $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 216 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $216$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 216}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.6

Умножим $2$ на $216$ .

$\frac{1}{2} (\frac{432}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.7

Сократим общий множитель $432$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Вынесем множитель $3$ из $432$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 144}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 144}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 144}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (\frac{144}{1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.7.2.4

Разделим $144$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.8

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.9

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 6.2.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 6.2.10.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 6.2.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Этап 6.2.12

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (144 + 0 (\frac{2}{3}))$

Этап 6.2.13

Умножим $0$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (144 + 0)$

Этап 6.2.14

Добавим $144$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 144$

Этап 6.2.15

Объединим $\frac{1}{2}$ и $144$ .

$\frac{144}{2}$

Этап 6.2.16

Сократим общий множитель $144$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.16.1

Вынесем множитель $2$ из $144$ .

$\frac{2 \cdot 72}{2}$

Этап 6.2.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.16.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 72}{2 (1)}$

Этап 6.2.16.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 72}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.16.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{72}{1}$

Этап 6.2.16.2.4

Разделим $72$ на $1$ .

$72$

Этап 7