Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{x + \frac{c}{x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x + \frac{c}{x}$ .

$\frac{(x + \frac{c}{x}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + \frac{c}{x}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 2.2

Умножим $x + \frac{c}{x}$ на $1$ .

$\frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 3

Умножим $\frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 4

Объединим.

$\frac{x (x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \frac{c}{x} + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot x + x \frac{c}{x} + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x \cdot x + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1} x + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{1 + 1} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 10

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{2} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} + c - (x^{1} x) \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} + c - (x^{1} x^{1}) \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2} + c - x^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 14

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 15

По правилу суммы производная $x + \frac{c}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}]$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 17

Поскольку $c$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{c}{x}$ по $x$ равна $c \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 18

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c \frac{d}{d x} [x^{- 1}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 19

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c (- x^{- 2}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 20.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 20.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.3.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 20.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (- c \frac{1}{x^{2}})}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 20.3.1.3

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $c$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (- \frac{c}{x^{2}})}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 20.3.1.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.3.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{c}{x^{2}}$ в числитель.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 20.3.1.4.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + x^{2} \cdot - 1 \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 20.3.1.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + x^{2} \cdot - 1 \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 20.3.1.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - - c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 20.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + 1 c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 20.3.1.6

Умножим $c$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 20.3.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} + c - x^{2} + c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.3.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{c + 0 + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 20.3.2.2

Добавим $c$ и $0$ .

$\frac{c + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 20.3.3

Добавим $c$ и $c$ .

$\frac{2 c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 20.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.4.1

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 c}{x {(\frac{x \cdot x}{x} + \frac{c}{x})}^{2}}$

Этап 20.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 c}{x {(\frac{x \cdot x + c}{x})}^{2}}$

Этап 20.4.3

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 c}{x {(\frac{x^{2} + c}{x})}^{2}}$

Этап 20.4.4

Применим правило умножения к $\frac{x^{2} + c}{x}$ .

$\frac{2 c}{x \frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}}$

Этап 20.5

Объединим $x$ и $\frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{2 c}{\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}}$

Этап 20.6

Сократим выражение $\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x {(x^{2} + c)}^{2}$ .

$\frac{2 c}{\frac{x ({(x^{2} + c)}^{2})}{x^{2}}}$

Этап 20.6.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{2 c}{\frac{x ({(x^{2} + c)}^{2})}{x \cdot x}}$

Этап 20.6.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2 c}{\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x \cdot x}}$

Этап 20.6.4

Перепишем это выражение.

$\frac{2 c}{\frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x}}$

Этап 20.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 c \frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

Этап 20.8

Умножим $2 c \frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.8.1

Объединим $2$ и $\frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ .

$c \frac{2 x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

Этап 20.8.2

Объединим $c$ и $\frac{2 x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ .

$\frac{c (2 x)}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

Этап 20.9

Перенесем $2$ влево от $c$ .

$\frac{2 c x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$