Математический анализ Примеры

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{2 x}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{2 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{3}}{6}$ по $x$ равна $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x}]$

Этап 2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x}]$

Этап 2.4

Объединим $\frac{3}{6}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x}]$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2})}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x}]$

Этап 2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x}]$

Этап 2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x}]$

Этап 2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2 x}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- x^{- 2})$

Этап 3.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- 2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{- 2}}{2}$

Этап 3.5

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2 x^{2}}$