Математический анализ Примеры

$\frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 25} > 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$4 - 3 x - x^{2} = 0$

$x^{2} - 25 = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $4 - 3 x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Перенесем $4$ .

$- 3 x - x^{2} + 4 = 0$

Этап 2.1.1.2

Изменим порядок $- 3 x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 3 x + 4 = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$- (x^{2}) - (3 x) + 4 = 0$

Этап 2.1.4

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$- (x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (3 x)$ .

$- (x^{2} + 3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

Этап 2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + 3 x) - 1 (- 4)$ .

$- (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разложим $x^{2} + 3 x - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $3$ .

$- 1, 4$

Этап 2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 1) (x + 4)) = 0$

Этап 2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 1) (x + 4) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 1) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 1, - 4$

Этап 7

Добавим $25$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 25$

Этап 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Этап 9

Упростим $\pm \sqrt{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Этап 9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 5$

Этап 10

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 5$

Этап 10.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 5$

Этап 10.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5, - 5$

Этап 11

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 1, - 4$

$x = 5, - 5$

Этап 12

Объединим решения.

$x = 1, - 4, 5, - 5$

Этап 13

Найдем область определения $\frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Зададим знаменатель в $\frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 25}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 25 = 0$

Этап 13.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $25$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 25$

Этап 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Этап 13.2.3

Упростим $\pm \sqrt{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Этап 13.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 5$

Этап 13.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 5$

Этап 13.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 5$

Этап 13.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5, - 5$

Этап 13.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Этап 14

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 4$

$- 4 < x < 1$

$1 < x < 5$

$x > 5$

Этап 15

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 15.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$\frac{4 - 3 \cdot - 8 - {(- 8)}^{2}}{{(- 8)}^{2} - 25} > 0$

Этап 15.1.3

Левая часть $- 0.\overline{923076}$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 15.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4.5$

Этап 15.2.2

Заменим $x$ на $- 4.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{4 - 3 \cdot - 4.5 - {(- 4.5)}^{2}}{{(- 4.5)}^{2} - 25} > 0$

Этап 15.2.3

Левая часть $0.57894736$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 15.3

Проверим значение на интервале $- 4 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 15.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{4 - 3 \cdot 0 - {(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 25} > 0$

Этап 15.3.3

Левая часть $- 0.16$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 15.4

Проверим значение на интервале $1 < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 15.4.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{4 - 3 \cdot 3 - {(3)}^{2}}{{(3)}^{2} - 25} > 0$

Этап 15.4.3

Левая часть $0.875$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 15.5

Проверим значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1

Выберем значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 15.5.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{4 - 3 \cdot 8 - {(8)}^{2}}{{(8)}^{2} - 25} > 0$

Этап 15.5.3

Левая часть $- 2.\overline{153846}$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 15.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < - 4$ Истина

$- 4 < x < 1$ Ложь

$1 < x < 5$ Истина

$x > 5$ Ложь

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < - 4$ Истина

$- 4 < x < 1$ Ложь

$1 < x < 5$ Истина

$x > 5$ Ложь

Этап 16

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 5 < x < - 4$ или $1 < x < 5$

Этап 17

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 5, - 4) \cup (1, 5)$

Этап 18