Математический анализ Примеры

$| x - 3 | + | x + 2 | < 11$

Этап 1

Заменим $<$ на $=$ в $| x - 3 | + | x + 2 | < 11$ .

$| x - 3 | + | x + 2 | = 11$

Этап 2

Вычтем $| x - 3 |$ из обеих частей уравнения.

$| x + 2 | = 11 - | x - 3 |$

Этап 3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x + 2 = \pm (11 - | x - 3 |)$

Этап 4

Результат состоит как из положительных, так и из отрицательных частей $\pm$ .

$x + 2 = 11 - | x - 3 |$

$x + 2 = - (11 - | x - 3 |)$

Этап 5

Решим $x + 2 = 11 - | x - 3 |$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Решим относительно $| x - 3 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем уравнение в виде $11 - | x - 3 | = x + 2$ .

$11 - | x - 3 | = x + 2$

Этап 5.1.2

Перенесем все члены без $| x - 3 |$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$- | x - 3 | = x + 2 - 11$

Этап 5.1.2.2

Вычтем $11$ из $2$ .

$- | x - 3 | = x - 9$

Этап 5.1.3

Разделим каждый член $- | x - 3 | = x - 9$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Разделим каждый член $- | x - 3 | = x - 9$ на $- 1$ .

$\frac{- | x - 3 |}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 9}{- 1}$

Этап 5.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{| x - 3 |}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 9}{- 1}$

Этап 5.1.3.2.2

Разделим $| x - 3 |$ на $1$ .

$| x - 3 | = \frac{x}{- 1} + \frac{- 9}{- 1}$

Этап 5.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{x}{- 1}$ .

$| x - 3 | = - 1 \cdot x + \frac{- 9}{- 1}$

Этап 5.1.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot x$ в виде $- x$ .

$| x - 3 | = - x + \frac{- 9}{- 1}$

Этап 5.1.3.3.1.3

Разделим $- 9$ на $- 1$ .

$| x - 3 | = - x + 9$

Этап 5.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x - 3 = \pm (- x + 9)$

Этап 5.3

Результат состоит как из положительных, так и из отрицательных частей $\pm$ .

$x - 3 = - x + 9$

$x - 3 = - (- x + 9)$

Этап 5.4

Решим $x - 3 = - x + 9$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x - 3 + x = 9$

Этап 5.4.1.2

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x - 3 = 9$

Этап 5.4.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 9 + 3$

Этап 5.4.2.2

Добавим $9$ и $3$ .

$2 x = 12$

Этап 5.4.3

Разделим каждый член $2 x = 12$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Разделим каждый член $2 x = 12$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{12}{2}$

Этап 5.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{12}{2}$

Этап 5.4.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{12}{2}$

Этап 5.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1

Разделим $12$ на $2$ .

$x = 6$

Этап 5.5

Решим $x - 3 = - (- x + 9)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим $- (- x + 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Перепишем.

$x - 3 = 0 + 0 - (- x + 9)$

Этап 5.5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$x - 3 = - (- x + 9)$

Этап 5.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 3 = - - x - 1 \cdot 9$

Этап 5.5.1.4

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x - 3 = 1 x - 1 \cdot 9$

Этап 5.5.1.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x - 3 = x - 1 \cdot 9$

Этап 5.5.1.5

Умножим $- 1$ на $9$ .

$x - 3 = x - 9$

Этап 5.5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x - 3 - x = - 9$

Этап 5.5.2.2

Объединим противоположные члены в $x - 3 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$0 - 3 = - 9$

Этап 5.5.2.2.2

Вычтем $3$ из $0$ .

$- 3 = - 9$

Этап 5.5.3

Поскольку $- 3 \neq - 9$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 5.6

Объединим решения.

$x = 6$

Этап 6

Решим $x + 2 = - (11 - | x - 3 |)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Решим относительно $| x - 3 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем уравнение в виде $- (11 - | x - 3 |) = x + 2$ .

$- (11 - | x - 3 |) = x + 2$

Этап 6.1.2

Упростим $- (11 - | x - 3 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 \cdot 11 - - | x - 3 | = x + 2$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 1$ на $11$ .

$- 11 - - | x - 3 | = x + 2$

Этап 6.1.2.3

Умножим $- - | x - 3 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 11 + 1 | x - 3 | = x + 2$

Этап 6.1.2.3.2

Умножим $| x - 3 |$ на $1$ .

$- 11 + | x - 3 | = x + 2$

Этап 6.1.3

Перенесем все члены без $| x - 3 |$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Добавим $11$ к обеим частям уравнения.

$| x - 3 | = x + 2 + 11$

Этап 6.1.3.2

Добавим $2$ и $11$ .

$| x - 3 | = x + 13$

Этап 6.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x - 3 = \pm (x + 13)$

Этап 6.3

Результат состоит как из положительных, так и из отрицательных частей $\pm$ .

$x - 3 = x + 13$

$x - 3 = - (x + 13)$

Этап 6.4

Решим $x - 3 = x + 13$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x - 3 - x = 13$

Этап 6.4.1.2

Объединим противоположные члены в $x - 3 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$0 - 3 = 13$

Этап 6.4.1.2.2

Вычтем $3$ из $0$ .

$- 3 = 13$

Этап 6.4.2

Поскольку $- 3 \neq 13$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 6.5

Решим $x - 3 = - (x + 13)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Упростим $- (x + 13)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Перепишем.

$x - 3 = 0 + 0 - (x + 13)$

Этап 6.5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$x - 3 = - (x + 13)$

Этап 6.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 3 = - x - 1 \cdot 13$

Этап 6.5.1.4

Умножим $- 1$ на $13$ .

$x - 3 = - x - 13$

Этап 6.5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x - 3 + x = - 13$

Этап 6.5.2.2

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x - 3 = - 13$

Этап 6.5.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = - 13 + 3$

Этап 6.5.3.2

Добавим $- 13$ и $3$ .

$2 x = - 10$

Этап 6.5.4

Разделим каждый член $2 x = - 10$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.1

Разделим каждый член $2 x = - 10$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 10}{2}$

Этап 6.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 10}{2}$

Этап 6.5.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 10}{2}$

Этап 6.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.3.1

Разделим $- 10$ на $2$ .

$x = - 5$

Этап 6.6

Объединим решения.

$x = - 5$

Этап 7

Объединим решения.

$x = 6, - 5$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < 6$

$x > 6$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$| (- 8) - 3 | + | (- 8) + 2 | < 11$

Этап 9.1.3

Левая часть $17$ не меньше правой части $11$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$| (0) - 3 | + | (0) + 2 | < 11$

Этап 9.2.3

Левая часть $5$ меньше правой части $11$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$| (8) - 3 | + | (8) + 2 | < 11$

Этап 9.3.3

Левая часть $15$ не меньше правой части $11$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 5 < x < 6$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 5, 6)$

Этап 12